高中数学优质教案1：2.3.2等差数列的前n项和(二)

人教版高中数学必修五

课 周 次 课 型 §2.3.2 等差数列的前n项和（二） 第 ____ 周 星期 ____ 时 间 ___________ 月 ____ 日 ① 新授课（√）② 习题课（ ）③ 复习课（ ）④ 讲评课（ ）⑤ 实验课（ ） 1． 进一步熟练掌握等差数列的前n项和公式； 教 学 目 标 知识与技能 2． 掌握等差数列前n项和的最值问题； 3． 理解an与Sn的关系，能根据Sn求an. 经历公式应用的过程，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发过程与方法 展学生的思维水平． 通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生情感、态度 活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现与价值观 问题，并数学地解决问题． 教 材 分 析 课时数 重 点 等差数列的前n项和公式 难 点 理解an与Sn的关系，能根据Sn求an . 1 教 法 教学手段 教 学 过 程 设 计 教学 环节 教 师 活 动 学生活动 探究一. 数列前n项和 (一)新知探究 问题1. 根据数列前n项和的定义，你能用 吗？ 答：当 .

时，；当 与 的关系 表示 小组讨论，展示成果. 时，教 学 过 程 设 计 1

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教学 环节 教 师 活 动 学生活动 同学甲板书过程，其他同学例1. 已知数列{an}的前n项和为列{an}的通项公式． 【解析】由题意 ……… ① ，求数在导学案上解答 …… 共同评价甲的解答. ∴ 当 时，由①②得 ………… ② ……… ③ 又 当 时，. 也满足③式. ∴ 数列{an}的通项公式为 (一)新知探究 3【注】该数列是以 为首项，公差为2的等差数列． 2变式1. 已知数列{an}的前n项和为，求数列{an}的通项公式． 自主解答 【解析】由题意 …… ① …… ② ∴ 当 时，由①②得 ……… ③ 又 当 时，. 显然不满足③式. ∴ 数列{an}的通项公式为 . 变式2. 已知数列{an}满足a1＋2a2＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)，求an. 小组讨论，展示成果. 2

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【解析】令bn＝nan，则{bn}的前n项和 Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝n(n＋1)(n＋2)， 当当 时，b1＝S1＝6； 时，bn＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)(n＋2)－(n－1)·n·(n＋1)＝3n(n＋1)．显然，b1＝6也适合 ∴ bn＝3n(n＋1) ∴ an＝3(n＋1)

教 学 过 程 设 计 教学 环节 【解题反思】如何由数列的前n项和列的通项an？ 答：解题时要分类讨论：（1）当 －Sn－1；（2）当 时，an＝Sn求数 小组讨论，展示成果. 时，a1＝S1. 最后再验证a1是否符教 师 活 动 学生活动 合an，若符合，则统一用一个解析式表示，否则就要写成分段式. (一)新知探究 2 . 探究二. 等差数列前n项和与二次函数的关系 问题2.（1）等差数列的通项公式 类比等差数列通项公式与一次函数的关系，通过小组讨 与二次函数有什么关系？ （2） 若数列 ，其中 的通项公式是二次函数 论，最后展示成果. 但要注意以的展开式表示的前n项和，比如变式 为常数，那么这个数列是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？ 3

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答：（1）∵ 数列是关于序号n的函数，为此将数列的通项公式变形为关于n的函数：显然，当其图像是抛物线 的点，d决定了该抛物线的开口方向. （2）∵ ∴ 当 又 当 ∴ 当 当 时，由①②得 时， ………… ① …… ② … ④ . ………… ③ . 时， 是等 时， 是关于序号n的二次函数， 上一系列孤立 时，③式也适合④式，则 时，③式不适合④式，则由等差数列与一次函数的关系，当 差数列； 当

时， 不是等差数列 . 教 学 过 程 设 计 教学 环节 例2．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和． 【解析】（方法一） (一)新知探究 . 设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则同学甲板书解题过程 教 师 活 动 学生活动 由已知得，解得 4