备战中考数学复习《锐角三角函数》专项综合练习附答案

【答案】（1）详见解析；（2）【解析】 【分析】

9 2（1）利用角平分线的性质得到∠OAE＝∠DAE，再利用半径相等得∠AEO＝∠OAE，等量代换即可推出OE∥AD，即可解题，（2）根据30°的三角函数值分别在Rt△ABE中，AE＝AB·cos30°， 在Rt△ADE中，AD=cos30°×AE即可解题. 【详解】

证明：如图，连接OE， ∵AE平分∠DAC， ∴∠OAE＝∠DAE． ∵OA＝OE， ∴∠AEO＝∠OAE． ∴∠AEO＝∠DAE． ∴OE∥AD． ∵DC⊥AC， ∴OE⊥DC． ∴CD是⊙O的切线．

（2）解：∵AB是直径， ∴∠AEB＝90°，∠ABE＝60°． ∴∠EAB＝30°，

cos30°=6×在Rt△ABE中，AE＝AB·

3=33， 2在Rt△ADE中，∠DAE＝∠BAE＝30°， ∴AD=cos30°×AE=【点睛】

93×33=.

22本题考查了特殊的三角函数值的应用，切线的证明，中等难度，利用特殊的三角函数表示出所求线段是解题关键.

7．在正方形ABCD中，AC是一条对角线，点E是边BC上的一点（不与点C重合），连接AE，将△ABE沿BC方向平移，使点B与点C重合，得到△DCF，过点E作EG⊥AC于点G，连接DG，FG．

（1）如图，①依题意补全图；②判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系，并证明；

（2）已知正方形的边长为6，当∠AGD＝60°时，求BE的长．

【答案】（1）①见解析，②FG＝DG，FG⊥DG，见解析；（2）BE?23. 【解析】 【分析】

（1）①补全图形即可，

②连接BG，由SAS证明△BEG≌△GCF得出BG＝GF，由正方形的对称性质得出BG＝DG，得出FG＝DG，在证出∠DGF＝90°，得出FG⊥DG即可，（2）过点D作DH⊥AC，交AC于点H．由等腰直角三角形的性质得出DH＝AH＝32，由直角三角形的性质得出FG＝DG＝2GH＝26，得出DF＝2DG＝43，在Rt△DCF中，由勾股定理得出CF＝23，即可得出结果． 【详解】

解：（1）①补全图形如图1所示， ②FG＝DG，FG⊥DG，理由如下， 连接BG，如图2所示， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB＝45°， ∵EG⊥AC， ∴∠EGC＝90°，

∴△CEG是等腰直角三角形，EG＝GC， ∴∠GEC＝∠GCE＝45°， ∴∠BEG＝∠GCF＝135°， 由平移的性质得：BE＝CF，

?BE?CF?在△BEG和△GCF中，??BEG??GCF，

?EG?CG?∴△BEG≌△GCF（SAS）， ∴BG＝GF，

∵G在正方形ABCD对角线上， ∴BG＝DG， ∴FG＝DG，

∵∠CGF＝∠BGE，∠BGE+∠AGB＝90°， ∴∠CGF+∠AGB＝90°， ∴∠AGD+∠CGF＝90°， ∴∠DGF＝90°， ∴FG⊥DG.

（2）过点D作DH⊥AC，交AC于点H．如图3所示, 在Rt△ADG中， ∵∠DAC＝45°， ∴DH＝AH＝32，

在Rt△DHG中，∵∠AGD＝60°， ∴GH＝DH3＝323＝6，

∴DG＝2GH＝26， ∴DF＝2DG＝43， 在Rt△DCF中，CF＝∴BE＝CF＝23．

?43?2?62＝23，

【点睛】

本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角

形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．

8．如图，在?ABCD中，AC与BD交于点O，AC⊥BC于点C，将△ABC沿AC翻折得到△AEC，连接DE．

（1）求证：四边形ACED是矩形； （2）若AC＝4，BC＝3，求sin∠ABD的值．

【答案】（1）证明见解析（2）【解析】 【分析】

613 65（1）根据?ABCD中，AC⊥BC，而△ABC≌△AEC，不难证明；

（2）依据已知条件，在△ABD或△AOC作垂线AF或OF，求出相应边的长度，即可求出∠ABD的正弦值． 【详解】

（1）证明：∵将△ABC沿AC翻折得到△AEC， ∴BC＝CE，AC⊥CE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴AD＝CE，AD∥CE，

∴四边形ACED是平行四边形， ∵AC⊥CE，

∴四边形ACED是矩形．

（2）解：方法一、如图1所示，过点A作AF⊥BD于点F， ∵BE＝2BC＝2×3＝6，DE＝AC＝4， ∴在Rt△BDE中，

BD?BE?DE?6?4?213∵S△BDE＝

222211×DE?AD＝AF?BD， 22∴AF＝4?3613， ?13213∵Rt△ABC中，AB＝32?42＝5， ∴Rt△ABF中，