备战中考数学复习《锐角三角函数》专项综合练习附答案

S四边形OPEG=S△OEG+S△OPE=S△OEG+（S△OPC+S△PCE-S△OEC） =

?11?4?4?1?5?31??5???4?t??3???3??8?t????8?t??t??3??8?t? 2?5?4?524??5?2???283215t?16(0?t?5)． 3（3）存在．

=?t?8?5?68∵S???t???(0?t?5)，

3?2?32568时，四边形OPEG的面积最大，最大值为．

32（4）存在．如图，连接OQ． ∵OE⊥OQ，

∴∠EOC+∠QOC=90°， ∵∠QOC+∠QOG=90°， ∴∠EOC=∠QOG，

∴tan∠EOC=tan∠QOG， ECGQ?∴， OCOG∴t=

35t8?t54?∴， 434?t5整理得：5t2-66t+160=0， 解得t?∴当t?16或10（舍弃） 516秒时，OE⊥OQ． 5【点睛】

本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.

3．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，MD∥BC，且

MD=CM，DE⊥AB于点E，连结AD、CD． （1）求证：△MED∽△BCA； （2）求证：△AMD≌△CMD；

（3）设△MDE的面积为S1，四边形BCMD的面积为S2，当S2=值．

17S1时，求cos∠ABC的5

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）cos∠ABC=【解析】 【分析】

5. 7（1）易证∠DME=∠CBA，∠ACB=∠MED=90°，从而可证明△MED∽△BCA； （2）由∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，可知MB=MC=AM，从而可证明∠AMD=∠CMD，从而可利用全等三角形的判定证明△AMD≌△CMD； （3）易证MD=2AB，由（1）可知：△MED∽△BCA，所以

2S1SACB?MD?1????，所以

AB??4S1ME12?S△MCB=S△ACB=2S1，从而可求出S△EBD=S2﹣S△MCB﹣S1=S1，由于，从而可SEBDEB25ME57?，设ME=5x，EB=2x，从而可求出AB=14x，BC=，最后根据锐角三角函数的EB22定义即可求出答案． 【详解】

（1）∵MD∥BC， ∴∠DME=∠CBA， ∵∠ACB=∠MED=90°， ∴△MED∽△BCA；

（2）∵∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点， ∴MB=MC=AM， ∴∠MCB=∠MBC， ∵∠DMB=∠MBC，

∴∠MCB=∠DMB=∠MBC， ∵∠AMD=180°﹣∠DMB，

∠CMD=180°﹣∠MCB﹣∠MBC+∠DMB=180°﹣∠MBC， ∴∠AMD=∠CMD，

知

在△AMD与△CMD中，

?MD?MD???AMD??CMD， ?AM?CM?∴△AMD≌△CMD（SAS）； （3）∵MD=CM， ∴AM=MC=MD=MB， ∴MD=2AB，

由（1）可知：△MED∽△BCA， ∴

2S1SACB?MD?1????，

AB??4∴S△ACB=4S1， ∵CM是△ACB的中线， ∴S△MCB=

1S△ACB=2S1， 22S1， 5∴S△EBD=S2﹣S△MCB﹣S1=∵

S1SEBD?ME， EBS1ME?∴2，

S1EB5∴

ME5?， EB2设ME=5x，EB=2x， ∴MB=7x， ∴AB=2MB=14x，

MDME1??， ABBC2∴BC=10x，

∵

∴cos∠ABC=【点睛】

本题考查相似三角形的综合问题，涉及直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，三角形面积的面积比，锐角三角函数的定义等知识，综合程度较高，熟练掌握和灵活运用相关的性质及定理进行解题是关键.

BC10x5??. AB14x7

4．如图，已知正方形

在直角坐标系

中，点

分别在轴、轴的正半轴上，点

在坐标原点.等腰直角三角板

将三角板

的直角顶点在原点，绕点逆时针旋转至

分别在的位置，连结

上，且

（1）求证：（2）若三角板

绕点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得

若存在，请

求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析（2）存在，【解析】

（1）证明：∵四边形∵三角板又三角板∴

为正方形，∴

或

是等腰直角三角形，∴绕点逆时针旋转至

···························· 3分

的位置时，

································ 4分 （2）存在.·

∵∴过点与又当三角板∴过点与

平行的直线有且只有一条，并与

垂直，

为半径的圆上，

绕点逆时针旋转一周时，则点在以为圆心，以

························ 5分

垂直的直线必是圆的切线，又点是圆外一点，过点与圆相切的直线有

和

且只有2条，不妨设为此时，点分别在

点和

点，满足