2016年河南省高考数学押题试卷（理科）(3)（解析版）

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ，θ∈[0，

]．

（1）先把半圆C的极坐标方程化为直角坐标方程，再化为参数方程； （2）已知直线l：y=﹣

x+6，点P在半圆C上，且点P到直线l的距离为半圆C上的点

到直线l的距离的最小值，根据（1）中得到的参数方程，确定点P的坐标． 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 【分析】（1）由ρ=4sinθ得ρ2=4ρsinθ，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可把极坐标方程化为直角坐标方程．进而得到半圆C的参数方程．

（2）作直线l的平行线l'，当直线l'与半圆C相切时，切点即为P，由（1）知半圆C的圆心为C（0，2），则CP⊥l，可得kCP=，即可得出． 【解答】解：（1）由ρ=4sinθ得ρ2=4ρsinθ，可得半圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4，0≤x≤2． ∴半圆C的参数方程为

（2）作直线l的平行线l'，当直线l'与半圆C相切时，切点即为P， 由（1）知半圆C的圆心为C（0，2），则CP⊥l， 因此解得

，

，

．

∴点．

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知实数m，n满足：关于x的不等式|x2+mx+n|≤|3x2﹣6x﹣9|的解集为R （1）求m，n的值；

（2）若a，b，c∈R+，且a+b+c=m﹣n，求证： ++． 【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．

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【分析】（1）若不等式|x2+mx+n|≤|3x2﹣6x﹣9|的解集为R，故3x2﹣6x﹣9=0时，x2+mx+n=0，进而由韦达定理得到答案； （2）运用重要不等式a+b≥2，结合累加法和三个数的完全平方公式，即可得证． 【解答】（1）解：∵不等式|x2+mx+n|≤|3x2﹣6x﹣9|的解集为R， 令3x2﹣6x﹣9=0，得x=﹣1，或x=3， 故x=﹣1，或x=3时，x2+mx+n=0，

则x=﹣1和x=3为方程x2+mx+n=0的两根， 故﹣1+3=2=﹣m，﹣1×3=﹣3=n， 解得：m=﹣2，n=﹣3，

当m=﹣2，n=﹣3时，不等式|x2+mx+n|≤|3x2﹣6x﹣9|即为

|x2﹣2x﹣3|≤3|x2﹣2x﹣3|，即有|x2﹣2x﹣3|≥0，则解集为R， 故m=﹣2，n=﹣3；

（2）证明：若a，b，c∈R+，且a+b+c=m﹣n=1， 由a+b≥2，b+c≥2，c+a≥2． 累加得，2a+2b+2c≥2+2+2， 两边同时加a+b+c，可得 3（a+b+c）≥a+b+c+2+2+2， 即有3（a+b+c）≥（++）2，

=．即++≤（当且仅当a=b=c时取得等号）

则++≤成立．

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2016年8月29日

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