江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高三模拟数学试卷(16)

（Ⅱ）求函数y=f（x）的零点的个数； （Ⅲ）令g（x）=

+lnx，若函数y=g（x）在（0，）内有极值，求实数a的取

值范围．

考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．

专题：导数的综合应用．

分析：（Ⅰ）化简，并求导数，注意定义域：（0，+∞），求出单调区间；

在（1，2）内有零点，再说明f（x）在（0，+∞）上

（Ⅱ）运用零点存在定理说明

有且只有两个零点；

2

（Ⅲ）对g（x）化简，并求出导数，整理合并，再设出h（x）=x﹣（2+a）x+1，说明h（x）=0的两个根，有一个在（0，）内，另一个大于e，由于h（0）=1，通过h（）＞0解出a即可．

解答： 解：（Ⅰ）设φ（x）=则φ'（x）=2x+

＞0，

=x﹣1﹣

2

（x＞0），

∴φ（x）在（0，+∞）上单调递增； （Ⅱ）∵φ（1）=﹣1＜0，φ（2）=3﹣

＞0，且φ（x）在（0，+∞）上单调递增，

∴φ（x）在（1，2）内有零点，

3

又f（x）=x﹣x﹣=x?φ（x），显然x=0为f（x）的一个零点， ∴f（x）在（0，+∞）上有且只有两个零点； （Ⅲ）g（x）=

+lnx=lnx+

，

则g'（x）=

2

=，

设h（x）=x﹣（2+a）x+1，

则h（x）=0有两个不同的根x1，x2，且有一根在（0，）内， 不妨设0＜x1＜，由于x1x2=1，即x2＞e， 由于h（0）=1，故只需h（）＜0即可， 即

﹣（2+a）

+1＜0，解得a＞e+﹣2，

∴实数a的取值范围是（e+﹣2，+∞）．

点评：本题主要考查导数在函数中的综合运用：求单调区间，求极值，同时考查零点存在定理和二次方程实根的分布，是一道综合题．