高等数学下（网络专科）历年试卷

s?(x)?1?x?x2?两边积分得

?1,(?1?x?1)-------------------------------------------(4分) 1?x?x0s?(t)dt?ln(1?x)，

即s(x)?s(0)?ln(1?x)，?s(x)?ln(1?x),?1?x?1.------------------------(7分) 18. 设t?x?2，----------------------------------------------------------------------------------(2分)

则f(x)?lnx?ln(2?t)?ln2(1?)?ln2?ln(1?)--------------------------(4分)

t2t2tn?1()??tn?1n2n?ln2??(?1)?ln2??(?1),?2?t?2 n?1n?1(n?1)2n?0n?0(x?2)n?1=ln2??(?1)，0?x?4．------------------------------------(7分) n?1(n?1)2n?0?n四、应用题

19． 由题意知在xoy的投影D：x2?y2?1．

V???(3?3x2?3y2)dxdy------------------------------------------------------------(5分)

D??d??(3?3r2)rdr?002?13?.-----------------------------------------------------(7分) 220． 设拉格朗日函数F(x,y,z)?2(x?y?z)??(xyz?1000)．----------------------(3分)

分别对x、y、z、?求导,并令其为零，得

?fx?2??yz?0?f?2??xz?0?y，----------------------------------------------------------------------(5分) ??fz?2??xy?0?f?xyz?1000?0?? 解得x?y?z?10．

由实际问题知存在最值，所以x?y?z?10时材料最省．--------------------------(7分)

历年试卷（四）

课程名称 高等数学下 专业班级：工科 时间：2008年 题号 题分

一、单项选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

1. 函数f(x,y)?一 18 二 18 三 49 四 15 总分 100 备注:学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)．

1的定义域为（ ）.

ln(x2?y2?1)A．x2?y2?0. B．x2?y2?1.

C．x2?y2?1. D．x2?y2?1，x2?y2?2. 2．函数f(x,y)在(x0,y0)处可微是在该处连续的( )条件．

A．充分. B． 必要. C． 充分必要. D． 无关的. 3. 函数z?x3?y3?23在(1,1)处的全微分dz?（ ）．

A．dx?dy. B．2?dx?dy?. C．3?dx?dy?. D．4. 下列级数中发散的级数是（ ）.

???111(?1)nA．?. B．?. C．? . D．?n.

nnn?1n(n?1)n?1n?12n?1?3?dx?dy?. 25．下列微分方程中，属于可分离变量微分方程的是（ ）.

A．xsin(xy)dx?ydy?0. B．y??ln(x?y) . C．y??xsiny. D．y??6. 定积分

1y?y2ex. x?e1lnxdx等于（ ）.

A．0. B．1. C．-1. D．5.

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）：

7．设向量a?{1,2,3},b?{2,1,0},则数量积a?b= ． 8．曲面e?xy?2在点(1,1,0)处的切平面方程为 ． 9．微分方程y??2y?0的通解为 ．

z?2z

10．设z?xy?xy，则2? ．

?x

352xn11．幂级数?2的收敛半径R＝ ．

n?1n?12．设f(u,v)有连续的一阶偏导数，而z?f(x,)，则三、计算下列各题（本题共7小题，每小题7分，共49分）

xy?z? ． ?x13. 求过点A(4,1,2)、B(?3,5,?1)且垂直于平面6x?2y?3z?7?0的平面方程．

?x?y?z?1?014. 写出直线?的对称式方程与参数式方程.

2x?y?3z?4?0?15. 设z?xlny，求dz. 16. 计算二次定积分I??10dy?e?xdx．

y1217. 求微分方程xy??y?xlnx的通解.

18．在区间(?1,1)内求幂级数

?nxn?1?2n的和函数.

?1119. 将f(x)?展开成x的幂级数(提示：??xn,?1?x?1).

x?21?xn?0四、应用题（本题共2小题，第1小题10分，第2小题5分，共15分）

20．某车间靠墙盖一长方形小屋,现有存砖只够砌24米长的墙,问该屋长、宽各为多少时小屋面积最大？最大值为多少？

21．某物体移动的速度为V(t)?3t（其中0?t?1），计算它在[0,1]时段内移动的距离S.

答案及评分标准

一、选择题

1．D； 2．A； 3．B； 4．C； 5．C； 6．B． 二、填空题

7．4； 8．x?1?y?1?z； 9．Ce； 10．6xy5?2y； 11． 1； 12． f1??三、计算题

13．设所求平面上点为(x,y,z)，则三向量?x?4,y?1,z?2?、AB及?6,?2,3?共面，

2x1f2?． yx?4即

y?1z?2?4?233?0---------------------------------------------------------------(5分)

76解得10z?6x?3y?7?0．---------------------------------------------------------------(7分)

14．在直线上任取一点(x0,y0,z0).取x0?1，则??y0?z0?2?0，解得y0?0和

?y0?3z0?6?0z0??2.所以，点坐标为(1,0,?2)．---------------------------------------------------------------(2分)

因所求直线与两平面的法向量都垂直，取s?n1?n2?{4,?1,?3}，-----------------(4分) 故对称式方程为

x?1y?0z?2??， 4?1?3?x?1?4t?参数方程为?y??t．-----------------------------------------------------------------------(7分)

?z??2?3t?15. dz?d(xlny)?xd(lny)?(lny)dx---------------------------------------------------(4分)

?xdy?(lny)d．x---------------------------------------------------------------------(7分) y1016. I?

??dx?edy??edx?dy---------------------------------------------------(3分)

000x?x21?x2x?10xe?x211?x2dx???ed(?x2)----------------------------------------------------(5分)

201??x2?11?e?1??e?.----------------------------------------------------------------(7分)

?02?217. 标准化得y??11y?lnx，其中P(x)??，Q(x)?lnx，------------------(2分) xx?P(x)dxP(x)dx通解为y?e?[Q(x)e?dx?C]--------------------------------------------(4分)

??elnx[?lnxe?lnxdx?C]

?x[?18． S(x)?x2?lnxdx?C] ?x[lnlnx?C]. --------------------------------------(7分) x2n?1?n(xn?1)?x2?ntn?1?n?1(t?x2)------------------------------------(2分)

?x21122n???--------------(5分) ?x(?1)?x(t)?x(t)??ttt21?t(1?t)n?1n?1n2??

x2,?1?x?1.----------------------- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (7分) ?22(1?x)11----------------------------------------------------------------------------(3分) ?x2?1211 ?(?)?-----------------------------------------------------------------------(5分)

21?x219． f(x)?1?xn??xn ???()??n?1．-------------------------------------------------------(7分)

2n?02n?02四、应用题

20．设长为x,则宽为24?x，

s?x(24?x)----------------------------------------------------------------------------------(4分) s??24?2x=0，解得x?12（唯一驻点）；---------------------------------------------(7分) 又s????2?0，由实际问题知最值一定存在，所以长为12米、宽为12米时面积最

大，最大值为144平方米．---------------------------------------------------------------------------(10分)

21．S??V(t)dt?3?01110tdt-------------------------------------------------------------------(2分)

?3??2?t2??2.------------------------------------------------------------------------------(5分)

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