17学年高中数学第三章推理与证明3.1归纳与类比(2)学业分层测评(含解析)北师大版选修1_2

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学业分层测评 (建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的( )

A．一条中线上的点，但不是中心 B．一条垂线上的点，但不是垂心 C．一条角平分线上的点，但不是内心 D．中心

【解析】 由正四面体的内切球可知，内切球切于四个面的中心． 【答案】 D

2．下列推理正确的是( )

A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin y C．把(ab)与(a＋b)类比，则有(x＋y)＝x＋y D．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)

【解析】 乘法的结合律与加法结合律相类比得(xy)z＝x(yz)．故选D. 【答案】 D

3．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝

2S，a＋b＋cnnnnn类比这个结论可知：四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S-ABC的体积为V，则R＝( )

A.C.

VS1＋S2＋S3＋S4

B．D．

2V S1＋S2＋S3＋S44V S1＋S2＋S3＋S4

3V S1＋S2＋S3＋S4

【解析】 设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为

1

13VV四面体S-ABC＝(S1＋S2＋S3＋S4)R，∴R＝.

3S1＋S2＋S3＋S4

【答案】 C

4．在等差数列{an}中，若an>0，公差d≠0，则有a4a6>a3a7.类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn>0，公比q≠1，则关于b5，b7，b4，b8的一个不等关系正确的是( )

A．b5b7>b4b8 C．b5＋b7

4

6

3

B．b7b8>b4b5 D．b7＋b8

7

【解析】 b5＋b7－b4－b8＝b1(q＋q－q－q) ＝b1[q(q－1)＋q(1－q)] ＝b1[－q(q－1)(1＋q＋q)]<0， ∴b5＋b7

5．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则

3

2

2

3

6

AG＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体A-BCD中，若△BCDGD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”，则＝( )

A．1 C．3

B．2 D．4

6

，此时易知点O即为正3

AOOM【解析】 如图，设正四面体的棱长为1，即易知其高AM＝

131366

四面体内切球的球心，设其半径为r，利用等体积法有4××r＝××?r＝，3434312故AO＝AM－MO＝66666

－＝，故AO∶OM＝∶＝3∶1. 3124412

【答案】 C 二、填空题

2

6．(2016·日照高二检测)二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr，观察发现S′＝l；三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr，三维测度(体积)V433＝πr，观察发现V′＝S.已知四维空间中“超球”的三维测度V＝8πr，猜想其四维测度3

2

2

W＝________.

【解析】 因为V＝8πr，所以W＝2πr，满足W′＝V. 【答案】 2πr

7．在Rt△ABC中，若C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径为r＝将此结论类比到空间有______________________________．

【解析】 Rt△ABC类比到空间为三棱锥A-BCD，且AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD；△ABC的外接圆类比到空间为三棱锥A-BCD的外接球．

【答案】 在三棱锥A-BCD中，若AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，AB＝a，AC＝b，AD＝c，则三棱锥A-BCD的外接球半径R＝

4

3

4

a2＋b22

，

a2＋b2＋c22

8．等差数列有如下性质：若数列{an}是等差数列，则当bn＝

a1＋a2＋…＋an时，数列{bn}

n也是等差数列；类比上述性质，相应地，若数列{cn}是正项等比数列，则当dn＝________时，数列{dn}也是等比数列．

【解析】 类比等差数列与等比数列的性质，可猜测dn＝c1c2…cn时，{dn}为等比数列． 【答案】

nnc1c2…cn

三、解答题

9．如图3-1-13①，在平面内有面积关系的体积关系，并证明你的结论．

S△PA′B′PA′·PB′

＝，写出图3-1-13②中类似S△PABPA·PB

① ②

图3-1-13

【解】 类比＝

S△PA′B′PA′·PB′VP-A′B′C′

＝，有 S△PABPA·PBVP-ABCPA′·PB′·PC′

.

PA·PB·PC 3

证明：如图，设C′，C到平面PAB的距离分别为h′，h. 则

h′PC′＝， hPC1

S△PA′B′·h′

VP-A′B′C′3故＝ VP-ABC1

S△PAB·h3＝

PA′·PB′·h′PA′·PB′·PC′

＝. PA·PB·hPA·PB·PC10．在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，

n∈N＋)成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有什么样的等式成

立？

【解】 在等差数列{an}中，由a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，

n∈N＋)成立，

相应地，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则可得

b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋)．

[能力提升]

1

1．已知正三角形内切圆的半径是其高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结

3论是( )

1

A．正四面体的内切球的半径是其高的

21

B．正四面体的内切球的半径是其高的

31

C．正四面体的内切球的半径是其高的

41

D．正四面体的内切球的半径是其高的

5

111

【解析】 原问题的解法为等面积法，即S＝ah＝3×ar?r＝h，类比问题的解法应

2231111

为等体积法，V＝Sh＝4×Sr?r＝h，即正四面体的内切球的半径是其高的.

3344

【答案】 C

2．(2016·广东一模)以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章

4