2019年浙江省绍兴市中考数学试卷(解析版)

∴四边形ABOE是矩形， ∴∠OBA＝90°，

∴∠DBO＝150°﹣90°＝60°， ∴OD＝BD?sin60°＝20

（cm），

+5≈39.6（cm）．

∴DF＝OD+OE＝OD+AB＝20

（2）作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．则四边形PCHG是矩形，

∵∠CBH＝60°，∠CHB＝90°， ∴∠BCH＝30°， ∵∠BCD＝165°， °∠DCP＝45°， ∴CH＝BCsin60°＝10

（cm），DP＝CDsin45°＝10

+10﹣10

（cm），

∴DF＝DP+PG+GF＝DP+CH+AB＝（10∴下降高度：DE﹣DF＝20

+5﹣10

+5）（cm）， ﹣5＝10

﹣10

＝3.2（cm）．

【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

21．（10分）在屏幕上有如下内容：

如图，△ABC内接于⊙O，直径AB的长为2，过点C的切线交AB的延长线于点D．张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答．

（1）在屏幕内容中添加条件∠D＝30°，求AD的长．请你解答． （2）以下是小明、小聪的对话：

小明：我加的条件是BD＝1，就可以求出AD的长

小聪：你这样太简单了，我加的是∠A＝30°，连结OC，就可以证明△ACB与△DCO

全等．

参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（可以添线添字母），并解答．

【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得∠OCD＝90°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到OD＝2，然后计算OA+OD即可；

（2）添加∠DCB＝30°，求AC的长，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明∠A＝∠DCB＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求AC的长． 【解答】解：（1）连接OC，如图， ∵CD为切线， ∴OC⊥CD， ∴∠OCD＝90°， ∵∠D＝30°， ∴OD＝2OC＝2， ∴AD＝AO+OD＝1+2＝3；

（2）添加∠DCB＝30°，求AC的长， 解：∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°，

∵∠ACO+∠OCB＝90°，∠OCB+∠DCB＝90°， ∴∠ACO＝∠DCB， ∵∠ACO＝∠A， ∴∠A＝∠DCB＝30°， 在Rt△ACB中，BC＝AB＝1， ∴AC＝

BC＝

．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．

22．（12分）有一块形状如图的五边形余料ABCDE，AB＝AE＝6，BC＝5，∠A＝∠B＝90°，∠C＝135°，∠E＞90°，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大．

（1）若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积．

（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．

【分析】（1）①若所截矩形材料的一条边是BC，过点C作CF⊥AE于F，得出S1＝AB?BC＝6×5＝30；

②若所截矩形材料的一条边是AE，过点E作EF∥AB交CD于F，FG⊥AB于G，过点C作CH⊥FG于H，则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，证出△CHF为等腰三角形，得出AE＝FG＝6，HG＝BC＝5，BG＝CH＝FH，求出BG＝CH＝FH＝FG﹣HG＝1，AG＝AB﹣BG＝5，得出S2＝AE?AG＝6×5＝30；

（2）在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于M，FN⊥AE于N，过点C作CG⊥FM于G，则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，证出△CGF为等腰三角形，得出MG＝BC＝5，BM＝CG，FG＝DG，设AM＝x，则BM＝6﹣x，FM＝GM+FG＝GM+CG＝BC+BM＝11﹣x，得出S＝AM×FM＝x（11﹣x）＝﹣x+11x，由二次函数的性质即可得出结果． 【解答】解：（1）①若所截矩形材料的一条边是BC，如图1所示： 过点C作CF⊥AE于F，S1＝AB?BC＝6×5＝30；

2

②若所截矩形材料的一条边是AE，如图2所示：

过点E作EF∥AB交CD于F，FG⊥AB于G，过点C作CH⊥FG于H， 则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形， ∵∠C＝135°， ∴∠FCH＝45°，

∴△CHF为等腰直角三角形，

∴AE＝FG＝6，HG＝BC＝5，BG＝CH＝FH， ∴BG＝CH＝FH＝FG﹣HG＝6﹣5＝1， ∴AG＝AB﹣BG＝6﹣1＝5， ∴S2＝AE?AG＝6×5＝30； （2）能；理由如下：

在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于M，FN⊥AE于N，过点C作CG⊥FM于G， 则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形， ∵∠C＝135°， ∴∠FCG＝45°，

∴△CGF为等腰直角三角形， ∴MG＝BC＝5，BM＝CG，FG＝DG， 设AM＝x，则BM＝6﹣x，

∴FM＝GM+FG＝GM+CG＝BC+BM＝11﹣x，

∴S＝AM×FM＝x（11﹣x）＝﹣x+11x＝﹣（x﹣5.5）+30.25， ∴当x＝5.5时，S的最大值为30.25．

2

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