数学建模论文-兰州交通大学招生人数的预测模型

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H0:?j?0?H1:?j?0,?1?j?m??E??X?X??1X?y???X?X??1X?X???E???

?1?1?1?1??var??X?X?X?y??X?X?X?X?X?X??2??X?X??2var?????~?为?对于线性拟合模型，记?的最小二乘估计，有

?????a11?1????X?X????a?m1a1m??? amm???服从正态分布： 在正态分布假定下，第j个未知参数的最小二乘估计?j???N?o,ajj??2?,1?j?m （5）

Q(?) n?m

由于?2?不可观测，用最小残差平方和估计?2?：??2?根据正态分布的性质，有

Q(?)??2?2(n?m) （6）

由式（5）和（6）可以构造出用于检验未知参数显著性的t检验统计量

??jT?n?mt(n?m)

ajjQ(?)当该检验统计量的绝对值大于自由度为n-m的t分布的1??分位点，即

T?t1??(n?m)

或者该检验统计量的p值小于?或大于1-?时，拒绝原假设，认为该参数显著。否则，认为该参数不显著。这时，应该剔除不显著的参数所对应的自变量重新拟合模型，构造出新的、结构更精炼的拟合模型。

利用SAS对拟合后的模型参数进行检验，结果如下表：

表6：模型的参数检验结果

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从表6的结果来看：拟合后的参数检验统计量P值较大，远远大于1-?，即拟合后的模型显著。

6.2、模型的显著性检验

模型的显著性检验主要是检验模型的有效性。一个模型是否显著有效主要看它提取的信息是否充分。一个好的拟合模型应该能够提取观察值序列中几乎所有的样本信息，换言之，拟合残差项中将不再蕴含任何相关信息，即残差序列应该为白噪声序列。这样的模型称为显著有效模型。

反之，如果残差序列为非白噪声序列，那就意味着残差序列中还残留着相关信息未被提取，这就说明拟合模型不够有效，通常需要选择其他模型，重新拟合。

所以模型的显著性检验即为残差序列的白噪声检验。原假设和备择假设分别为：

H0:?1??2????m?0,?m?1H1:至少存在某个?k?0,?m?1,k?m检验统计量为LB检验统计量：

?

LB?n(n?2)?(k?1m?k2n?k)~?2(m),?m?0

如果拒绝原假设，就说明残差序列中还残留着相关信息，拟合模型不显著。如果不能拒绝原假设，就认为拟合模型显著有效。

利用SAS进行残差序列的白噪声检验，结果如表7所示:

表7：残差序列的白噪声检验结果

由于12阶延迟下LB统计量的P值显著大于0.05，可以认为这个拟合模型

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的残差序列属于白噪声序列，即该拟合模型显著有效。

6.3、模型的预测

根据前面的数据，得到兰州交通大学2015-2024年招生情况如表8所示：

表8：兰州交通大学未来10年的招生人数表

七、模型的优缺点及改进

7.1 模型的优点

在解决兰州交通大学招生人数的预测问题时，我们建立了时间序列模型进行分析，从兰州交通大学1999-2014年16年的招生人数进行分析，我们发现该序列是一个非平稳序列，同时也是一个非白噪声序列，即招生人数的历史数据对于兰州交通大学未来10年的招生人数有很强的利用价值。

在问题的解决过程中，我们利用了时间序列的相关知识，并充分利用SPSS统计软件画出了兰州交通大学1999-2014年招生人数的时序图和自相关图，又画出了2阶差分后的兰州交通大学招生人数的时序图、自相关图以及偏自相关图。最后通过对图形的分析我们利用SAS建立了ARIMA（0,2,5）的模型，又对兰州交通大学未来10年的招生人数做出了预测。

7.2 模型的缺点

在问题的解决过程中，我们只选取了兰州交通大学1999-2014年16年的历史数据，历史数据的缺少在一定程度上会限制时间序列模型的建立；另外时间序列是一个很庞大的知识体系，本论文只是选取了其中的一部分理论，难免会片面化。在模型的检验过程中，对于显著性水平的选取，我们也只是按照通常情况下选取0.05，这也会产生一定的误差。

最后，本论文为了计算方便，做了一些必要的假设，没有考虑到的因素对预测的结果也会有一定的影响。

7.3 模型的改进和应用

在问题的解决过程中，我们应该尽可能多地利用历史数据，可以利用数值分析中的插值法进行插值，得到兰州交通大学历年的招生人数；另外，对于预测的兰州交通大学10年后的招生数据可以和历史数据结合在一起进行分析；最后，我们还可以考虑兰州交通大学招生人数有关的影响因素，使建立的数学模型更加准确。

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对于常见的一组数据，我们可以尝试用时间序列的知识来考虑，建立ARIMA模型可以解决实际中的很多问题，例如，中国某地GDP的预测、某公司年产量的预测等等。