数学建模论文-兰州交通大学招生人数的预测模型

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最终利用SAS得到兰州交通大学未来10年的招生人数如表3所示：

表3：兰州交通大学未来10年的招生人数

利用存储在临时数据集out里的数据，我们绘制出了拟合、预测图，相关命令如下：

proc gplot data=out;

plot x*t=1 forecast*t=2 /overlay; symbol1 c=black i=join v=star; symbol2 c=red i=join v=none; run;

图8：兰州交通大学招生人数的拟合、预测图

5.3兰州交通大学招生人数序列的确定性分析模型

在自然界中，由确定性因素导致的非平稳，通常显示出非常明显的规律性。从兰州交通大学招生人数序列的时序图（如图1）可以看出，该序列呈现出不平稳的曲线性质。本论文利用趋势分析法和平滑法对兰州交通大学招生人数的序列的确定性因素进行了分析。 5.3.1趋势拟合法

趋势分析法就是把时间作为自变量，相应的序列观察值作为因变量，建立序列值随时间变化的回归模型的方法。根据兰州交通大学1999-2014年招生人数序列的时序图（如图1）所示，该序列有显著的曲线递增趋势，所以我们尝试使用对数模型、二次项模型、幂模型、S模型、指数模型拟合该序列的趋势。输出结果如下表所示：

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方程 对数 二次 幂 S 指数 模型汇总 R 方 F .773 47.709 .772 47.505 .751 42.117 .751 42.304 .750 41.931 表4：五种趋势分析法的模型汇总 参数估计值 df1 df2 Sig. 常数 1 14 .000 -3970579.005 1 1 1 1 14 14 14 14 .000 .000 .000 .000 -517887.331 .000 143.224 1.396E-55 b1 522768.584 260.412 134.766 -270556.037 .067 b2 .000

图9：五种趋势分析法模型汇总的拟合曲线图

表4的模型结果表明了各个模型回归方程的显著性，图9的拟合曲线图给出了各个模型的预测值与实际值的差异。由于本论文只选取了1999-2014年兰州交通大学的招生人数，所以五个模型的回归R2都在0.80以下，即模型拟合不显著。 5.3.2平滑法

平滑法是进行趋势分析和预测时常用的一种方法。它是利用修匀技术，削弱短期随机波动对序列的影响，使序列平滑化，从而显示出变化的规律。根据所用平滑技术的不同，平滑法又可以具体分为移动平均法和指数平滑法。 （1） 移动平均法。

要确定移动平均的周期，一般从以下三个方面加以考虑：事件的发展有无周期性；对趋势平滑性的要求；对趋势反映近期变化敏感程度的要求。综合上述三方面的考虑，如果想密切关注序列的短期趋势，就应做期数较小的移动平均。因此，对兰州交通大学招生人数序列可采用4期移动平均法进行预测。建立模型如下：

x2015?1(x2014?x2013?x2012?x2011)

4?xx??12016?412017?4(x2015?x2014?x2013?x2012) (x2016?x2015?x2014?x2013)

????

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……

兰州交通大学10年的招生人数预测结果如表5所示：

表5：兰州交通大学2015-2024年招生人数序列的预测表 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 招生人数 5681 5713 5695 5680 5692 5695 5690 5689 5692 5692 （2） 指数平滑法。 移动平均法实际上就是用一个简单的加权平均数作为某一趋势的估计值。

1~xt?(xt?xt?1???xt?n?1)以n期移动平均为例，，相当于用近n期的加权平均数n作为最后一期趋势得估计值，他们的权重都取为1n。但在实际生活中，我们会发现对大多数随机事件而言，一般都是近期的结果对现在的影响会大些，远期的结果对现在的影响会小一些。为了更好地反映这种影响，我们将考虑到时间间隔对事件的影响，各期权重随时间间隔增大而呈指数衰减。这就是指数平滑法的基本思想，常用的进行趋势拟合的指数平滑公式有如下两种。 1、简单指数平滑

~xt?1??xt?1??(1??)xt?2??(1??)2xt?3??

式中，?为平滑系数，它满足0

xt?1??xt?1??(1??)xt?2??(1??)2xt?3?? 因为~~xt??xt?(1??)~xt?1~x所以t又等价于

x0初始值的问题。我们有许多方法可以确定~x0简单指数平滑面临一个确定~x0=x1。平滑系数?的值由研究人员根据经验的初始值，最简单的方法就是指定~给出。一般对于变化缓慢的序列，常取较小的?值，相反，对于变化迅速的序列，常取较大的?值。经验表明?的值介于0.05~0.3之间，修匀效果比较好。指数平滑也是一种常用的平滑序列预测方法。假定最后一期的观察值为xt，那么使用指数平滑法，向前预测1期的预测值为：

~x(1)?~x??x?(1??)~x??x??(1??)xtttt?1t2??(1??)xt?2?? t?12、Holt两参数指数平滑

Holt 指数平滑模型与一般指数平滑模型不同的是它对趋势数据直接进行平滑并对原时间数列进行预测。Holt两参数指数平滑适用于对含有线性趋势的序列进行修匀，其基本思想为：设一时间序列有一个比较固定的线性趋势，每一期都递增?或递减?，则第?期的估计值就应该等于第t?1期的观测值加上每一期趋势变动值，由于随机因素的影响，使得每一期的递增或递减的值不会恒定为?，

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它是随时间变化上下波动的一个随机序列??t?。根据Holt两参数指数平滑法的思想，它的平滑公式为：

~?~?xt??xt?(1??)(xt?1??t?1） （4） ?~~???t??(xt?xt?1)?(1??)?t?1其中，?为预测值的平滑系数，?为趋势值的平滑系数，并且它们满足条件0??,??1。平滑系数的选择原则和简单指数平滑的原则一样。

利用SPSS软件得到Holt指数平滑模型对兰州交通大学招生人数的拟合如图10所示： 图10：兰州交通大学招生人数Holt指数平滑模型拟合图

从图10中可以看出：Holt指数平滑模型对于兰州交通大学招生人数的拟合与5.2中利用ARIMA（0,2,5）得到的结论基本一致。

六、模型的检验

6.1参数的显著性检验

参数的显著性检验就是要检验每一个未知参数是否显著非零。这个检验的目的是为了使模型最精简。如果某个参数不显著，即表示该参数所对应的那个自变量对因变量的影响不显著，该自变量就可以从拟合模型中剔除。最终模型将由一系列参数显著非零的自变量表示。

检验假设：