初一数学培优资料（学生）

例2 如图是中国象棋的一盘残局，如果用(4，o)表示帅的位置，用(3，9)表示将的 位置，那么炮的位置应表示为（ ）

A．(8，7) B．(7，8) C．(8，9) D．(8，8)

思维拓展：在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别 为（0，0），（5，0），（2，3）则顶点C的坐标为（ ）

A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2）

例3 已知长方形ABCD中，AB=5，BC=8，并且AB∥x轴，若点A的坐标为（－2，4），则点C的坐标 为___ ______。

思维拓展：三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（-4，-1），B（1，1），C（-1，4），将三角形ABC向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是（ ） A．（2，2），（3，4），（1，7） B．（-2，2），（4，3），（1，7） C．（-2，2），（3，4），（1，7） D．（2，-2），（3，3），（1，7） 例4 “若点P、Q的坐标是（x1，y1）、（x2，y2），则线段PQ中点的坐标为（

x1?x2y1?y2，）．”

22已知点A、B、C的坐标分别为（-5，0）、（3，0）、（1，4），利用上述结论求线段AC、BC的中点D、E的坐标，

并判断DE与AB的位置关系．

思维拓展：如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为(3，4)，将OA绕原点O逆时针旋转90得到OA?，则点A?的坐标是（ ） Ａ．(?4，3) Ｂ．(?3，4) Ｃ．(3，?4) Ｄ．(4，?3)

例5 如图，三角形AOB中，A、B两点的坐标分别为（-4，-6），（-6，-3），求三角形AOB的面积。

思维拓展：如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为（–2，8），（–11，6），（–14，0），（0，0）。 （1）确定这个四边形的面积，你是怎么做的? （2）如果把原来ABCD各个顶点纵坐标保持不变，

横坐标增加2，所得的四边形面积又是多少？

第八讲：与三角形有关的线段

一、相关知识点

1．三角形的边

三角形三边定理：三角形两边之和大于第三边

即：△ABC中，a+b>c,b+c>a,c+a>b（两点之间线段最短） 由上式可变形得到： a>c－b，b>a－c，c>b－a 即有：三角形的两边之差小于第三边 2． 高

由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 3． 中线：

连接三角形的顶点和它对边的中点的线段，称为三角形的中线 4． 角平分线

三角形一个内角的角平分线与这个角对边的交点和这个角的顶点之间线段称为三角形的角平分线 二、典型例题

（一）三边关系

例1 已知三角形三边分别为2,a-1,4,那么a的取值范围是( ) A.1

思维拓展：小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为8m和5m的木棒。如果要求第三根木棒的长度是整数小

颖有几种选法？可以是多少？

A

例2 已知：△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD+BD>

1（AB+AC） 2C

B D（二）三角形的高、中线与角平分线 问题：（1）观察图形，指出图中出现了哪些高线？ AD （2）图中存在哪些相等角？

1注意基本图形：双垂直图形 2B C

例3 如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高，DE⊥AC，DF⊥AB， 垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（ ） A．5 B．4 C．3 D．2

思维拓展：如图，⊿ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D， DF⊥CE，求∠CDF的度数。

例4 一块三角形优良品种试验田，现引进四种不同的种子进行对比试验，需要将这块地分成面积相等的四块，请你设计出四种划分方案供选择，画图说明。 A例5 三角形ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O。

（1）若∠ABC = 40°，∠ACB = 50°，则∠BOC = 。 （2）若∠ABC +∠ACB =116°，则∠BOC = 。 D（3）若∠A = 76°，则∠BOC = 。

CB12（4）若∠BOC = 120°，则∠A = 。

（5）你能找出∠A与∠BOC 之间的数量关系吗？

思维拓展1：已知: BE, CE分别为 △ABC 的外角 ∠ MBC, ∠NCB的角平分线, 求: ∠E与∠A的关系

思维拓展2：已知: BF为∠ABC的角平分线, CF为外角∠ACG的角平分线, 求∠F与∠A的关系。

思维拓展3：如图：∠ABC与∠ACG的平分线交于F1；∠F1BC与∠F1CG的平分线交于F2；如此下去, ∠F2BC与∠F2CG的平分线交于F3；…探究∠Fn与∠A的关系（n为自然数）

第九讲：与三角形有关的角

一、相关定理

（一）三角形内角和定理：三角形的内角和为180° （二）三角形的外角性质定理：

1． 三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角和 2． 三角形的任意一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 （三）多边形内角和定理：n边形的内角和为(n?2)?180? 多边形外角和定理：多边形的外角和为360° 二、典型例题

例1 如何证明三角形的内角和为180°？

思维拓展：如图,在△ABC中,∠B=∠C,∠BAD=40°,且∠ADE=∠AED,求∠CDE的度数.

例2 如图：在△ABC中，∠C>∠B，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC。 求证：∠EAD＝

AE

BDCA1（∠C－∠B） 2EDC

B

思维拓展：已知：CE是△ABC外角∠ACD的角平分线，CE交BA于E。 求证：∠BAC>∠B

例3 如何证明n边形的内角和为(n?2)?180?？

EABCD

思维拓展：多边形内角和与某一个外角的度数总和是1350°，求多边形的边数。

例4 科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图4中的步骤行走， 那么该机器人所走的总路程为（ ） A. 6米 B. 8米 C. 12米 D. 不能确定