数论例题

整式的加减运算在数论中的应用

一． 整数的十进制表示

例1 求所有这样的两位数，它与对调其十位数字和个位数字顺序所得到的数的和恰好是一个完全平方数。

例2 试求三位数与它的各位数字之和的比的最大值。

例3求具有下列性质的所有正整数 n: ① 它以数码 2结尾;

② 如果把 2 移到第一位之前, 所得的数是原数的 2 倍。

例4 求具有下列性质的所有三位数： ① 它的各位数字不同；

② 这个数等于所有由它的各位数字组成的两位数的和。

例5 小王驾车在公路上匀速行驶, 他看到里程碑上的数是两位数, 一小时后看到里程碑上的数恰是第一次看到的数颠倒了顺序的两位数,再过一小时后, 看到的里程碑上的数又恰好是第一次见到的两位数字之间添上一个零的三位数, 问这三块上里程碑上的数各是多少?

例6 红，黄，白，蓝四种卡片各一张，每张上写有一个数字，小明将它们按红，黄，白，蓝的顺序排成一列，使它们构成一个四位数，并计算这个四位数和它的各位数字之和的10倍的差。结果小明发现，无论白色卡片上数字是多少，计算结果都是1998。 问：红，黄，蓝三章卡片上各是什么数字？

二． 整数的整除性

例1． 一个五位数，若前三个数字表示的三位数与后二个数字表示的两位数的和能被11整除，判断这个五位数能否被11整除，并说明理由。

例2．证明：将一个正整数A的末位截去，并将截去的数乘以2后，加在截后所剩下的数上，如果这个和能被19整除， 那么A也能被19整除。，

例3．已知a,b,为整数，n?10a?b.如果17|a?5b，请你证明：17|n。

例4．x、y、z都是整数，若11|(7x+2y-5z)，证明： 11|(3x-7y+12z)

例5．数码0~9组成整数，现将3K个数码沿圆周任意排列，如果从某个位置的数码开始，沿顺时针方向依次写出这3K个数码，所得的3K位数能被27整除，试证明：当从任何其他位置开始，沿顺时针方向依次写出这3K个数码，所得的3K位数也能被27整除。

例6． 任给五个整数，求证：其中一定存在三个数，它们的和是3的倍数

练习题

1． 已知x,y,z为自然数，且x

大的一个。 2． 某人驾驶汽车从甲地出发 1 小时到达乙地, 继续行驶 1 小时 45 分到达丙地. 汽车行驶速度一定, 甲, 乙两地路程是 ( ab ) 千米, 乙, 丙两地路程是 ( ba ) 千米. ( ab ) 表示十位上的数字是 a, 个位上的数字是 b 的两位数. 现在知道从甲地经乙地到丙地的路程不少于 100 千米. 试问从甲地到乙地的路程是多少千米?

3．证明：将一个正整数A的末位截去，并将截去的树乘以4后，加在截后所剩下的数上，如果这个和能被29整除， 那么A也能被29整除。

4．已知7|(13x+8y)，x、y都是整数，求证： 7|(9x+5y)．

5．如果一个三位数正好等于各个数位上的数字之和的13倍，试求出所有这样的三位数．

6．求具有下列性质的最小正整数 n:

① 它以数码 6 结尾;

② 如果把 6 移到第一位之前, 所得的数是原数的 4 倍。

7． 一个四位数乘以9 以后得到的新四位数的各位数字的顺序恰好与原四位数相反,原来的四位数是多少？

8．已知两个三位数abc,def的和abc?def能被37整除，证明：六位数abcdef也能被37整除，

9．证明：若购买超过17元（整数元）的邮票，只需要3元与10元面值的邮票就可以了。

10．设有n个数x1，x2，…，xn，它们的值只能是0，1，2三个数中的一个，如

22果记f1?x1?x2???xn,f2?x12?x2???xn,试用f1和f2表示kk fk?x1k?x2???xn