当前位置：首页 > 2019届江苏省泰州中学高三下学期5月第四次模拟考试数学试题(解析版)
②设a1?0，q?0，试比较an与bn?n?3?的大小？并证明你的结论. （2）问集合A中最多有多少个元素？并证明你的结论. 【答案】（1）①bn析.
【解析】（1）①利用数列基本量，结合已知条件，即可容易求得结果； ②用作差法，结合代数运算，即可证明和判断；
n（2）将问题转化为q?tn?s?0有多少个解的问题，构造函数，利用导数判断函数单
?2n?1；②an?bn?n?1,2,????，证明见解析；（2）3个，证明见解
调性，从而问题得解. 【详解】
（1）由A??1,2?，得a1?b1，a2?b2.
设数列?an?公差为d，数列?bn?公比为q，由a2?b2?a1?d?a1q，故d?a1?q?1?. ①因为an?n，a1?b1?1，a2?b2?2，所以数列?bn?的公比q?b2?2，所以，b1bn?2n?1.
②答：an?bn?n?1,2,????.证明如下： 因为a1?0，q?0，q?1，所以
n?1?bn?an?a1qn?1??a?n?1aq?1?aq?1?a1?q?1??n?1? ?????111?????a1?q?1?qn?2?qn?1?L?1?a1?q?1??n?1?
n?2n?3?a1?q?1????q?q?L?1??n?1???
??n?2n?3?a1?q?1??q?1?q?1?L??q?1????
2n?3n?4n?4n?5?a2?q?1??q?q?L?1?q?q?L?1?L??q?1??1????0.
????????所以an?bn?n?1,2,????.
n（2）不妨设an?a?bn?b?0?，bn?pq，由
an?bn?a?bn?pqn?ab?n?qn. pp令s?abt?，，?t?0?，原问题转化为关于n的方程
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qn?tn?s?0，①
最多有多少个解.
下面我们证明：当q?0时，方程①最多有2个解；q?0时，方程②最多有3个解. 当q?0时，考虑函数f?x??q?tx?s，则f'?x??qlnq?t，
xx如果tlnq?0，则f?x?为单调函数，故方程①最多只有一个解； 如果tlnq?0，且不妨设由f'?x??0得f'?x?有唯一零点x0?logq于是当x?x0时，f'?x?恒大于0或恒小于0， 当x?x0时，f'?x?恒小于0或恒大于0，
这样f?x?在区间?0,x0?与?x0,???上是单调函数， 故方程①最多有2个解. 当q?0时，如果t?0.
如果n为奇数，则方程①变为q?tn?s?0，
显然方程最多只有一个解，即最多只有一个奇数满足方程①. 如果n为偶数，则方程①变为
nt， lnqq?tn?s?0，由q?0的情形，上式最多有2个解，
即满足①的偶数最多有2个. 这样，最多有3个正数满足方程①.
对于t?0，同理可以证明，方程①最多有3个解. 综上所述，集合A中的元素个数最多有3个.
再由当an?6n?8，bn???2?，则a1?b1，a2?b2，a4?b4，A??1,2,4?.
nn由此，可知集合A中的元素个数最多有3个. 【点睛】
本题考查等比数列基本量的求解，利用导数研究方程根的个数，属综合中档题.
??21．已知点P?a,b?，先对它作矩阵M?????1232?3???20?2?对应的变换，再作N??对?021????2?第 18 页 共 23 页
应的变换，得到的点的坐标为8,43，求实数a，b的值. 【答案】a?5，b??3 【解析】分别求得NM，?NM?，即可容易求得结果. 【详解】
?1????20???依题意，NM????02????1232?3??2???1?3???，
1??1??3??2?3??4?， 1??4??1??14由逆矩阵公式得，?NM????3???4?1?4所以??3???4【点睛】
3??4??8???5?????，即有a?5，b??3. ?43?31?????4?本题考查点关于矩阵变换后坐标的求解，属基础题.
??x?3cos?xOy22．在平面直角坐标系中，椭圆C的参数方程为?，其中?为参数.
y?sin???以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
?cos?????????2.求椭圆C上的点到直线l距离的最大值和最小值. 3?66. ，最小值为2?22【答案】最大值为2?【解析】将直线的极坐标方程转化为直角方程，利用参数以及点到直线的距离公式，求三角函数的最值，即可求得结果. 【详解】 由?cos????????1?3?2?cos??sin??2， ，得?????3?2?2?即l的直角坐标方程为x?3y?4?0.
??x?3cos?因为椭圆C的参数方程为?，
y?sin???第 19 页 共 23 页
所以椭圆C上的点到直线l距离
d?3cos??3sin??42??????6cos?????44?6cos?????4?4?， ???22所以d的最大值为2?【点睛】
66. ，最小值为2?22本题考查极坐标方程转化为直角坐标方程，以及用参数求解距离的最值问题，属综合基础题.
?a,a?b2b??ah?mina,mina,b?23．定义，设????22?，其中，b均为正实数，
?a?b??b,a?b证明：h?1. 【答案】证明见解析
【解析】根据对h的定义，求得h?【详解】
因为a，b均为正实数，所以h?因为a2?b2?2ab，所以【点睛】
本题考查用均值不等式证明不等式，属综合中档题；本题的难点在于h?得.
24．已知正六棱锥S?ABCDEF的底面边长为2，高为1．现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X表示所得三角形的面积.
2222ab，再利用均值不等式，即可证明.
a2?b22ab， 22a?b2ab?1，即h2?1. 22a?b2ab的获22a?b
(1)求概率P(X?3)的值；
(2)求X的分布列，并求其数学期望E(X)． 【答案】(1) P?6. 35第 20 页 共 23 页
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