第一二章概率论的答案

,则

A??(x,y)|(x,y)??,?2?x?y?1?.

如图1.9中阴影部分所示,所求概率为

11?22?22??23?232P(A)?2?0.121小小说：该题将生活中的实际问题巧妙的24?24转化为数学模型解决！还有，在应用几何概型中，一般可以将问题转为线段、平面和立体等.

1.16在线段AB上任取三点x1,x2,x3,，求： (1) x2 位于x1 与x3 之间的概率。 (2) Ax1,Ax2,Ax3能构成一个三角形的概率。 分析：该题考查了几何概型的立体模型的应用！

11详解:(1)由题意可知, x1,x2,x3三点的位置是在线段AB内任意的,故共有A3A2种排列方式, x2位于x1与x3之间,则x1可在x2左边或右边两个位置其中一个,

1x1,x2两点位置确定, x3位置也就唯一确定,故共有C2种情况,记11C2C21A??x2位于x1与x3之间?,则P(A)?11??. 1A3A263(2)设线段AB为1个单位长度, x1,x2,x3分别为线段Ax1,Ax2,Ax3的长度, 若以?x1,x2,x3?表示正方体上的点的坐标,则样本空间为

???(x1,x2x3)|0?x1?1,0?x2?1,0?x3?1?.

设事件B??Ax1,Ax2,Ax3能构成一个三角形?,则

若Ax3最长, B???x1,x2,x3?|?x1,x2,x3???,x1?x2?x3?x1?x2? 如图1.10中阴影部分(三角锥体)所示,所求概率为

11??1?1?11P1(B)?32?

1?1?161同理,当Ax2,Ax1分别最长时,有P2(B)?P3(B)?

61111故P(B)?P1(B)?P2(B)?P3(B)????

6662

图1.10

小小说：自己都觉得繁琐的说，注意转换为什么样的模式解决问题才更加方面.

1.4设P?AB??PAB,且P?A??p,当A与B相互独立时，求P?B?. 分析：

详解1：因为P?A?B??P?A??P?B??P?AB?

所以P(AB)?P(A?B)1?P(A?B)?1??P(A)?P(B)?P(AB)? ?1?p?P(B)?P(AB) 又因为P(AB)?P(AB)?P(B)?1?p 详解2：

A与B相互独立 ?A与B也相互独立

??因此，P(AB)?P(A)P(B),又P?A??p，故PA?1?p 由P(AB)?P(AB),得 p?P(B)??1?p??1?P(B)? 故得P?B??1?p.

小小说：此题亦可删减掉独立条件，也就是详解1中的解法。

1.5 设事件A,B及A?B的概率分别为p,q及r，求P?AB?，PAB，PAB,PAB. 分析：本题考查概率的运算性质。 详解：依题意可得，

P?AB??P?A??P?B??P?A?B??p?q?r

???????? PAB?P?A??P?AB??p??p?q?r??r?q PAB?P?B??P?AB??r?p

PAB?1?PAB?1?P?A?B??1?r

小小说：要掌握基本的定义和公式，请查看我们的教科书和本书的知识点归纳.

1.6设三个事件

A,B,C,P?A??0.4，P?B??0.5，P?C??0.6，P?AC??0.2，P?BC??0.4且AB??,

????????求P?A?B?C?.

分析：该题考查了基本定义。 详解：由题，?AB?空集，

?P?AB??0，P?AB??P?ABC??0

P?A?B?C??P?A??P?B??P?C??P?AB??P?AC??P?BC??P?ABC?因此， ?0.4?0.5?0.6?0?0.2?0.4?0?0.9

1.21 12个乒乓球中9个新、3个旧，第一次比赛取出了3个，用完了放回去，第二次比赛又取出3个，求第二次取出的3个球中有2个新球的概率。

分析：该题是一个条件概型，用分类思想较清晰的将解答出. 详解1：该题可分为4种情况考虑：

30C9?C3① 若第一次取出3个新球，发生的概率为P?A1??,当第二次取得时候，3C12就只有6个新球，6个旧球，因此在第一次的条件下,第二次取出2个新球1个旧球的概率为

3011C9?C3C6?C6 P?B|A1???33C12C121C92?C3② 若第一次取出2个新球1个旧球，发生的概率为P?A2??,当第二次取3C12得时候，就只有6个新球，6个旧球，因此在第一次的条件下,第二次取出2个新球1个旧球的概率为

121C92?C3C7?C5 P?B|A2???33C12C12

1C9?C32③ 若第一次取出1个新球2个旧球，发生的概率为P?A3??,当第二次取3C12得时候，就只有6个新球，6个旧球，因此在第一次的条件下,第二次取出2个新球1个旧球的概率为

11C9?C32C82?C4 P?B|A3???33C12C12

03C9?C3④ 若第一次取出3个旧球，发生的概率为P?A1??,当第二次取得时候，3C12就只有6个新球，6个旧球，因此在第一次的条件下,第二次取出2个新球1个旧球的概率为

031C9?C3C92?C3 P?B|A4???33C12C12

因此，其发生的总概率为

P(B)?P?B|A1??P?B|A2??P?B|A3??P?B|A4??0.4552

详解2：解：分析在“第一次取出的3个球中有k个球是新的?k?0,1,2,3?”背景下划分，设事件A表示“第二次比赛时取出的3个球中有2个新球”，事件Bk表示“第一次比赛时用了k个新球?k?0,1,2,3?，所以A??ABk。

k?03,k?0,1,2,3 由古典概型和排列组合知：P?Bk??C9C3k3?k3C12如果第一次比赛时用了k个新球，则盒子中还有9-k个新球，有

k?3P?A|Bk??C9?kC,(k?0,1,2,3) 321C123于是按全概率公式得，所求概率P?A???P?Bk?P?A|Bk?

k?0

?C9C3C9C3?C9C3C8C4?C9C3C7C5?C9C3C6C6

0321122121213021?0.455