广东省2019届普通高等学校招生全国统一考试文科数学模拟(一)试题(含解析)

求线性回归方程的方法，属于常考题型. 20.已知点

，

都在椭圆：

上.

（1）求椭圆的方程； （2）过点若直线

与

的直线与椭圆交于不同的两点，（异于顶点），记椭圆与轴的两个交点分别为，，交于点，证明：点恒在直线

；（2）见解析.

上.

【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）把点

，

代入椭圆方程，得即可；

（2）设程，得

，，联立得，，联立直线和直线的方

，把韦达定理代入化简即可.

【详解】（1）由题意得，得，故椭圆的方程为.

（2）由题意可设直线的方程为联立

整理得

，

.

，.

所以则

由题意不妨设直线

的方程为

，.① ，

，

，则直线.

的方程为，

联立整理得，

所以

把①代入上式，得当

时，可得

，当上.

.

时，易求

，即

， 不符合题意.

综上，故点恒在直线

【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，也考查了韦达定理的应用，属于中档题.

21.已知函数（1）若曲线（2）当

在

时，证明：

. 处的切线与直线

.

垂直，求该切线的方程；

【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）利用函数（2）对由

；（2）详见解析.

的切线与直线求导，得

转化为，令

， 设在

垂直，得斜率为

上单调递减，在

成立，因为，对

，且，即可得切线方程；

，

等价于

上单调递增，所以，所以

求导得单调性，所以

即可成立.

【详解】（1）因为曲线所以曲线又因为（2）因为令则故

等价于

因为设令则故当即

时，

，从而当.

在，所以

，则，解得上单调递增，在

. 时，

，

等价于. ；令

上单调递减.

，解得

，

在

，解得在

在

处的切线与直线

.

. 垂直，

处的切线的斜率为

在，所以

；令

，所以曲线处的切线方程为

，

，解得

上单调递增.

，

上单调递减，在

.

，即

.

.

【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性和最值，考查了利用导数研究不等式恒成立问题，属于中档题.

（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.在平面直角坐标系任意一点，点为

中，曲线的参数方程为

（为参数），已知点

，点是曲线上

的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求点的轨迹的极坐标方程； （2）已知直线：【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）设

化为极坐标即可； （2）把直线：联立

化成极坐标方程为

，得

，设

，

，因为

即可.

，得

，即

，

，

，且

，由M为

的中点，得x=

，y=

，整理得

，

与曲线交于

；（2）

两点，若

.

，求的值.

，代入

【详解】（1）设，.且点，由点为的中点，所以整

理得

化为极坐标方程为（2）设直线：联立

.即

.

的极坐标方程为

整理得

，

.设，.

，因为，所以，即.

则解得.

所以，则.

【点睛】本题考查了相关点代入法求轨迹的方法，极坐标方程的应用，属于中档题. 23.已知函数f（x）＝|x﹣a|+2|x+1|． （1）当a＝2时，解不等式f（x）＞4．

（2）若不等式f（x）＜3x+4的解集是{x|x＞2}，求a的值． 【答案】（1）{x|x＜﹣，或 x＞0}；（2）【解析】 【分析】

（1）分类讨论，去掉绝对值，化为与之等价的三个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集即可． （2）由题意可得，x＝2是方程f（x）＝3x+4的解，即|2﹣a|+6＝6+4，求得a＝6，或 a＝﹣2．检验可得结论． 【详解】（1）当a＝2时，不等式f（x）＞4，即|x﹣2|+2|x+1|＞4， ∴①

，或 ②

，或 ③

．

.

解①求得x＜﹣，解②求得x＞0，解③求得x≥2， 故原不等式的解集为{x|x＜﹣，或 x＞0}． （2）不等式f（x）＜3x+4，即|x﹣a|+2|x+1|＜3x+4，

∵不等式f（x）＜3x+4的解集是{x|x＞2}，故x＝2是方程f（x）＝3x+4的解， 即|2﹣a|+6＝6+4，求得a＝6，或 a＝﹣2．

当a＝6时，求得f（x）＜3x+4的解集是{x|x＞2}，满足题意；

当a＝﹣2时，求得f（x）＜3x+4的解集不是{x|x＞2}，不满足题意，故a＝﹣2应该舍去． 综上可得，a＝6．

【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于中档题．