牛顿形式的埃尔米特插值多项式

期末论文

课程名称：数值分析 院系名称：巢湖学院数学系 所在班级：11级数本（2）班 学生学号：11020170 学生姓名：张秀丽

目录

【题目】：牛顿形式的埃尔米特插值多项式

【摘要】：.........................................................

【关键词】：..........................................................

【正文】：

一、引言

二、重节点均差与泰勒插值

三、埃尔米特插值典例

四、牛顿形式的埃尔米特插值多项式的一些应用领域

【结束语】：.........................................................

【参考文献】：..........................................................

牛顿形式的埃尔米特插值多项式

【摘要】：在了解了插值法以后，陆续的又接触和学习到多项式插值、拉格朗日插值、牛顿插值多项式等，但在有些实际问题中，仍需要其它要求，下面又给出有关牛顿的埃尔米特插值的内容。 【关键词】：重节点均差、泰勒插值、泰勒插值多项式、埃尔米特插值。 【正文】： 一、引言

插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践。早在一千多年前的隋唐时期制定历法时就应用了二次插值，隋朝刘绰将等距节点二次插值应用于天文计算。但插值理论都是在17世纪微积分产生以后才逐步发展的，牛顿的等距节点插值公式及均差插值公式都是当时的重要成果。近半世纪由于计算机的广泛使用和造船、航空、精密机械加工等实际问题的需要，使插值法在理论上和实践上得到进一步发展，尤其是20世纪40年代后期发展起来的样条插值，更获得广泛应用，成为计算机图形学的基础。

在插值法的提出后我们了解了多项式插值；应用各种不同的方法对给定的插值点为求得形如P(x)=a0+a1x+...+anxn的插值多项式我们得到了线性插值与抛物线插值；把线性插值与抛物线插值推广到一般情形，通过讨论如何构造通过n+1个节点x0

容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为重要。但当插值点增减时，计算要全部重新进行，甚为不变，为了计算方便可重新设计一种逐次生成插值多项式的方法，通过一系列的考察与讨论我们利用均差得到了牛顿均差插值多项式Pn(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...+

f[x1,...,xn](x-x0)...(x-xn-1)，随后还涉及了差分形式的牛顿插值公式等。 插值多项式要求在插值节点上函数值相等，有的实际问题还要求在节点上倒数值相等，甚至高阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式称为埃尔米特插值多项式。

二、重节点均差与泰勒插值

先给出一个关于均差的结论。

设f?Cn[a,b],x0,x1,...,xn为[a,b]上的相异节点，则f[x0,x1,...,xn]是其变量的连续函数。

如果[a,b]上的节点互异，根据均差定义，若f?C1[a,b]，则有 由此定义重节点均差

limf[x0,x]=xx0limxx0f(x)-f(x0)=f'(x0).

x-x0 f[x0,x0=]'. )fx[x,=]fx(00limx?x0类似地可定义重节点的二阶均差，当x11x0时，有 f[x0,x0,x]1=当x1?x0时，有

f[x0,x0,x0]=f[x0,x1]-f[x,0x]0.

x1-x0limf[x0,x1,x2]=x1?x0x2?x01''f(x0) . 2f(n)(x),x [a,b]则得 一般地，可定义n阶重节点的均差，由f[x0,x1,...,xn]=n!f(n)(x0) f[x0,x0,...,x0]=limf[x0,x1,...,xn]=.

n!xi?x0在牛顿均差插值多项式

Pn(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...+f[x1,...,xn](x-x0)...(x-xn-1)中，若令xi?x0(i可得泰勒多项式

f(n)(x0)(x-x0)n. pn(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+...+n!'f(n)(x0)1,2,...,n)，则由f[x0,x0,...,x0]=limf[x0,x1,...,xn]=.n!xi?x0它实际上是在点x0附近逼近f(x)的一个带导数的插值多项式，它满足条件 pn(k)(x0)=fk(x0),k=0,1,...,n. 称

Pn(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...+f[x1,...,xn](x-x0)...(x-xn-1)为泰勒插值多项式，它就是一个埃尔米特插值多项式，其余项为

f(n+1()x) Rn(x)=(x-x0)n+1,x (a,b),

(n+1)!f(n+1)(x)它与插值余项Rn(x)=f(x)-Ln(x)=wn+1(x)中xi?x0(i(n+1)!1,2,...,n)的结

果一致.实际上泰勒插值是牛顿插值的极限形式，是只在一点x0处给出n+1个插