电磁场与电磁波答案（第四版）谢处方

电位为

解 由

2?r?1?()R02 2?r3?0?DdS?q，可得到

S4?r3r?R0时， 4?rD1??

3D1?r?rE?? 即 D1?， 1??3??3r0r034?R02r?R0时， 4?rD2??

33D1?R0?R03? ， E2? 即 D2?22?03?0r3r2故中心点的电位为

?22?R03?r?R?R2?r?1?2 00?(0)??E1dr??E2dr??dr??dr???()R023?r?03?0r6?r?03?02?r3?00R0R3.17 一个半径为R的介质球，介电常数为?，球内的极化强度P?erKr，其中K为一

00R0?R0常数。（1） 计算束缚电荷体密度和面密度；（2） 计算自由电荷密度；（3）计算球内、外的电场和电位分布。

解 （1） 介质球内的束缚电荷体密度为 ?p???P??在r?R的球面上，束缚电荷面密度为 ?p?nPr?R1d2KK(r)?? r2drrr2K?erPr?R?

R（2）由于D??0E?P，所以 ?D??0?E??P?即 (1??0?D??P ?????0?K2 (???)0r?0)?D??P ?????0?P??由此可得到介质球内的自由电荷体密度为 ???D??p??KR14??RK24?rdr? 总的自由电荷量 q???d??2????r???000?（3）介质球内、外的电场强度分别为

PK?er (r?R) ???0(???0)rq?RKE2?er?e (r?R) r4??0r2?0(???0)r2E1?介质球内、外的电位分别为

- 25 -

?R??1??Edl??E1dr??E2dr?

rRrRK?RKdr?dr? 2??(???0)r?(???0)rrR0KR?Kln? (r?R)

(???0)r?0(???0)????2??E2dr??r?RK?RKdr? (r?R) 2?(???)r?(???0)r00r03.18 （1）证明不均匀电介质在没有自由电荷密度时可能存在束缚电荷体密度；（2）导出束缚电荷密度?P的表达式。

解 （1）由D??0E?P，得束缚电荷体密度为 ?P???P???D??0?E 在介质内没有自由电荷密度时，?D?0，则有 ?P??0?E 由于D??E，有 ?D??(?E)???E?E???0 所以 ?E??E???

由此可见，当电介质不均匀时，?E可能不为零，故在不均匀电介质中可能存在束缚电荷体密

度。

（2）束缚电荷密度?P的表达式为 ?P??0?E???0E?? ?3.19 两种电介质的相对介电常数分别为?r1=2和?r2=3，其分界面为z=0平面。如果已知介质1中的电场的

E1?ex2y?ey3x?ez(5?z)

那么对于介质2中的E2和D2，我们可得到什么结果？能否求出介质2中任意点的E2和D2？

解 设在介质2中

E2(x,y,0)?exE2x(x,y,0)?eyE2y(x,y,0)?ezE2z(x,y,0)

D2??0?r2E2?3?0E2

在z?0处，由ez?(E1?E2)?0和ez(D1?D2)?0，可得

???ex2y?ey3x?exE2x(x,y,0)?eyE2y(x,y,0)

??2?5?0?3?0E2z(x,y,0)E2y(x,y,0)??3x

于是得到 E2x(x,y,0)?2y

E2z(x,y,0)?103

故得到介质2中的E2和D2在z?0处的表达式分别为

E2(x,y,0)?ex2y?ey3x?ez(103)D2(x,y,0)??0(ex6y?ey9x?ez10)

不能求出介质2中任意点的E2和D2。由于是非均匀场，介质中任意点的电场与边界面上的

- 26 -

电场是不相同的。

3.20 电场中一半径为a、介电常数为?的介质球，已知球内、外的电位函数分别为

?1??E0rcos?????03cos?aE02 r?a

??2?0r?2??3?0E0rcos? r?a

??2?0验证球表面的边界条件，并计算球表面的束缚电荷密度。

解 在球表面上

?1(a,?)??E0acos?????03?0aE0cos???Eacos?

??2?0??2?003?0Eacos?

??2?002(???0)??13?E0cos???E0cos? r?a??E0cos???r??2?0??2?03?0??2??Ecos? r?a?r??2?00??1??2??故有 ?1(a,?)??2(a,?)， ?0r?ar?a

?r?r可见?1和?2满足球表面上的边界条件。

?2(a,?)?? 球表面的束缚电荷密度为

?p?nP2r?a?(???0)erE2??(???0)??2?rr?a?3?0(???0)E0cos?

??2?03.21 平行板电容器的长、宽分别为a和b，极板间距离为d。电容器的一半厚度(0~用介电常数为?的电介质填充，如题3.21图所示。

(1) (1) 板上外加电压U0，求板上的自由电荷面密度、束缚电荷；

(2) (2) 若已知板上的自由电荷总量为Q，求此时极板间电压和束缚电荷； (3) (3) 求电容器的电容量。

解 （1） 设介质中的电场为E?ezE，空气中的电场为E0?ezE0。由D?D0，有

d)2?E??0E0 dd又由于 E?E0??U0

22由以上两式解得

z d2 d2 U0

2?0U02?U0E?? ，0

(???0)d(???0)d2?0?U0???E?? 故下极板的自由电荷面密度为下(???0)d E??? 题 3.21图

- 27 -

2?0?U0

(???0)d2?0(???0U)0 电介质中的极化强度 P?(???0)E??ez(???0)d2?0(???0U)0???eP? 故下表面上的束缚电荷面密度为 p下z(???0)d2?0(???0)U0??eP?? 上表面上的束缚电荷面密度为 p上z(???0)d2?0?UQ??? （2）由

ab(???0)dE0(???0)dQ U? 得到 ?1 2??ab0?2 (???0)QE ?故 ?p下??ab(???0)Q?0 ? E0 ?p上???ab2?0?abQC?? 3 （）电容器的电容为题3.22图 U(???0)d上极板的自由电荷面密度为

?上???0E0?3.22 厚度为t、介电常数为??4?0的无限大介质板，放置于均匀电场E0中，板与E0成角（1）使?2??4的?1值；（2）介质板两表面的极化电荷密度。 ?1，如题3.22图所示。求：

tan?1?0? 解 （1）根据静电场的边界条件，在介质板的表面上有

tan?2??1?1?0tan?2?tan?10?tan?1?14 由此得到 ?1?tan??4 （2）设介质板中的电场为E，根据分界面上的边界条件，有?0E0n??En，即

?0E0cos?1??En

?1所以 En?0E0cos?1?E0cos14

?43 04?0.?7E28介质板左表面的束缚电荷面密度 ?p??(???0)En???0E0cos1?043 040.?7E28介质板右表面的束缚电荷面密度 ?p?(???0)En??0E0cos1?043.23 在介电常数为?的无限大均匀介质中，开有如下的空腔，求各腔中的E0和D0： （1）平行于E的针形空腔；

（2）底面垂直于E的薄盘形空腔；

（3）小球形空腔（见第四章4.14题）。

解 （1）对于平行于E的针形空腔，根据边界条件，在空腔的侧面上，有E0?E。故在针

- 28 -