【精编】北师大初中数学中考总复习：圆综合复习--知识讲解(提高)

过O作OG⊥BC于G，

∵△OBC是等边三角形，OB=8m， ∴∠OBC=60°， ∴OG=OB?sin∠OBC=8×∴S△OBC=BC?OG=×8×4∴S六边形ABCDEF=6S△OBC=6×16

=4

m， =16=96

， m2．

类型四、与圆有关的综合应用

5．（2014?孝感模拟）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作EF∥BC，交AB、AC的延长线于点E、F． （1）求证：EF为⊙O的切线；

（2）若sin∠ABC=，CF=1，求⊙O的半径及EF的长．

【思路点拨】

（1）连接OD，只要证明OD⊥EF即可．

（2）连接BD，CD，根据相似三角形的判定可得到△CDF∽△ABD∽△ADF，根据相似比及勾股定理即可求得半径及EF的值． 【答案与解析】

（1）证明：连接OD； ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°； ∵EF∥BC，

∴∠AFE=∠ACB=90°， ∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA；

又∵AD平分∠BAC， ∴∠OAD=∠DAC， ∴∠ODA=∠DAC， ∴OD∥AF，

∴∠ODE=∠AFD=90°， 即OD⊥EF； 又∵EF过点D， ∴EF是⊙O的切线．

（2）解：连接BD，CD； ∵AB是直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠ADB=∠AFD； ∵AD平分∠BAC， ∴∠OAD=∠DAC， ∴BD=CD； 设BD=CD=a；

又∵EF是⊙O的切线， ∴∠CDF=∠DAC，

∴∠CDF=∠OAD=∠DAC， ∴△CDF∽△ABD∽△ADF， ∴

=

，

=

；

∵sin∠ABC==，

∴设AC=3x，AB=4x， ∴=

，则a2=4x，

∴在Rt△CDF中，由勾股定理得 DF2=CD2﹣CF2=4x﹣1； 又∵

=

，

∴4x﹣1=1×（1+3x）， ∴x=2，

∴AB=4x=8，AC=3x=6； ∵EF∥BC，

∴△ABC∽△AEF， ∴

=

，

=，AE=

，

=

．

=

．

∴在Rt△AEF中，EF=

综上所述，⊙O的半径及EF的长分别是4和

【总结升华】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识点的综合运用． 举一反三：

【变式】（2015?宁波模拟）已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且BD=BA，过点B画AD的垂线交AC于点O，以O为圆心，AO为半径画圆． （1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为8，tan∠C=，求线段AB的长，sin∠ADB的值．

【答案】 解：（1）连接OD， ∵BA=BD，BO⊥AD， ∴∠ABO=∠DBO， 在△ABO和△DBO中

，

∴△ABO≌△DBO（SAS），

∴OD=OA．∠ODB=∠OAB=90°， ∴BD⊥OD，

∴BC是⊙O的切线； （2）∵在RT△ODC中，CD=∴OC=10， ∴AC=18

在RT△ABC中，AB=AC?tan∠C=18×=24， ∵∠ADB=∠DAB=∠AOB， ∴sin∠ADB=sin∠AOB=

=

， ==6，

6． （1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点， 求证：PA=PB+PC；

（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点， 求证：；

（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明．

【思路点拨】

（1）延长BP至E，使PE=PC，连接CE，证明△PCE是等边三角形．利用CE=PC，∠E=60°， ∠EBC=∠PAC，得到△BEC≌△APC，所以PA=BE=PB+PC；

（2）过点B作BE⊥PB交PA于E，证明△ABE≌△CBP，所以PC=AE，可得PA=PC+

PB．

（3）在AP上截取AQ=PC，连接BQ可证△ABQ≌△CBP，所以BQ=BP．又因为∠APB=30°． 所以PQ=

PB，PA=PQ+AQ=

PB+PC．

【答案与解析】

证明：（1）延长BP至E，使PE=PC，

连接CE．∵∠BAC=∠CPE=60°，PE=PC，