电磁场与电磁波（杨儒贵 - 第一版）课后思考题答案

电磁场与波课后思考题

1-1 什么是标量与矢量?举例说明.

仅具有大小特征的量称为标量.如:长度,面积,体积,温度,气压,密度,质量,能量及电位移等. 不仅具有大小而且具有方向特征的量称为矢量.如:力,位移,速度,加速度,电场强度及磁场强度.

1-2 矢量加减运算及矢量与标量的乘法运算的几何意义是什么?

矢量加减运算表示空间位移.

矢量与标量的乘法运算表示矢量的伸缩.

1-3 矢量的标积与矢积的代数定义及几何意义是什么?

????矢量的标积: A ? B ? A x B x ? A y B y ? z B z ? A B cos ? ,A矢量的模与矢量B在矢量A A方向上的投影大小的乘积.

矢积: ? ? ?

exeyez ? ? ? ? ? 矢积的方向与矢量A,B都垂直,且 A ? B ? A x A y A z e z A B sin ? 由矢量A旋转到B,并与矢积构成右

?? B x B y B z 旋关系,大小为 ABsin?

1-4 什么是单位矢量?写出单位矢量在直角坐标中的表达式.

????模为1的矢量称为单位矢量. ea?cos?ex?cos?ey?cos?ez 1-5 梯度与方向导数的关系是什么?试述梯度的几何意义,写出梯度在直角坐标中的表示式. 标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数, 方向为该点具有最大方向导数的方向.

梯度方向垂直于等值面，指向标量场数值增大的方向

??????在直角坐标中的表示式:

??ex?ey?ez ?x?y?z1-6 什么是矢量场的通量?通量值为正,负或零时分别代表什么意义?

矢量A沿某一有向曲面S的面积分称为矢量A通过该有向曲面S的通量,以标量表示，

??即 Ψ ? A ? d S 通量为零时表示该闭合面中没有矢量穿过.

S通量为正时表示闭合面中有源;通量为负时表示闭合面中有洞.

?1-7 给出散度的定义及其在直角坐标中的表示式.

?散度：当闭合面S向某点无限收缩时，矢量A通过该闭合面S的通量

divA?limΔV?0与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A在该点的散度。

?直角坐标形式： ??Ax?Ay?AzdivA??????A ?x?y?z1-8 试述散度的物理概念,散度值为正,负或零时分别表示什么意义?

物理概念：通过包围单位体积闭合面的通量。

散度为正时表示辐散,为负时表示辐合,为零时表示无能量流过.

1-9 试述散度定理及其物理概念.

散度定理:建立了区域 V中的场和包围区域V的闭合面S上的场之间的关系

?S ?? A?dSΔV

物理概念: 散度定理建立了区域 V 中的场和包围区域 V 的闭合面 S 上的场之间的关

系。

??1-10 什么是矢量场的环量?环量值为正,负或零时分别代表什么意义?

?? A?dl l矢量场 A 沿一条有向曲线 l 的线积分称为矢量场 A 沿该曲线的环量,即:

若在闭合有向曲线l上，环量为正,则表示矢量场A的方向处处与线元dl的方向保持一致;环量为负,刚表示处处相反;环量为零,则表示曲线l不包含矢量场A.

?1-11 给出旋度的定义及其在直角坐标中的表示式.

若以符号 rotA 表示矢量 A 的旋度，则其方向是使矢量 A 具有最大环量强度的方向，其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，即 ?????exeyez A?dl??? lmax??? rotA?enlim???A?ΔS?0ΔS?x?y?z

AxAyAz

1-12 试述旋度的物理概念,旋度值为正,负或零时分别表示什么意义?

矢量场的旋度大小可以认为是包围单位面积的闭合曲线上的最大环量。

1-13 试述斯托克斯定理及其物理概念. ???????? (rot A ) ? d S ? A ? d l 或 (??A)?dS? A?dl S l S l物理概念: 建立了区域 S 中的场和包围区域 S 的闭合曲线 l 上的场之间的关系

?????1-14 什么是无散场和无旋场?任何旋度场是否一定是无散的,任何梯度场是否一定是无旋的?

无散场:散度处处为零的矢量场 无旋场:旋度处处为零的矢量场 ???(??A)?0??(?Φ)?0任何旋度场一定是无散场; 任何梯度场一定是无旋场.

1-15 试述亥姆霍兹定理,为什么必须研究矢量场的散度和旋度?

若矢量场 F(r) 在无限区域中处处是单值的， 且其导数连续有界，源分布在有限区域 V中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场 F(r) 可以表示为

????? F(r)????(r)???A(r)????

式中 ? ( r ) ? ? ? dV?A(r)???dV???VV4πr?r?4πr?r?

该定理表明任一矢量场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和,所以矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的首要问题

2-1 电场强度的定义是什么？如何用电场线描述电场强度的大小及方向？

电场对某点单位正电荷的作用力称为该点的电场强度，以E 表示。

用曲线上各点的切线方向表示该点的电场强度方向，这种曲线称为电场线。 电场线的疏密程度可以显示电场强度的大小。

2-2给出电位与电场强度的关系式，说明电位的物理意义。

? E?????1????F(r?)??1????F(r?)

静电场中某点的电位，其物理意义是单位正电荷在电场力的作用下，自该点沿任一条路径移至无限远处过程中电场力作的功。

2-3什么是等位面？

电位相等的曲面称为等位面。

2-4什么是高斯定理？

??q

E?dS? S?0??10(F/m)式中?0 为真空介电常数。? 0?8.854187817??10(F/m)?36π称为高斯定理，它表明真空中静电场的电场强度通过任一封闭曲面的电通等于该封闭曲面所包围的电量与真空介电常数之比。

2-5给出电流和电流密度的定义。

dq电流是电荷的有规则运动形成的。单位时间内穿过某一截面的电荷量称为电流。 I?dt分为传导电流和运流电流两种。

传导电流是导体中的自由电子（或空穴）或者是电解液中的离子运动形成的电流。 运流电流是电子、离子或其它带电粒子在真空或气体中运动形成的电流。

电流密度：是一个矢量，以 J 表示。电流密度的方向为正电荷的运动方向，其大小为单

??位时间内垂直穿过单位面积的电荷量。d I?J?dS

2-6什么是外源及电动势？

外源是非电的能源，可以是电池，发电机等。 ? P??外电场由负极板 N 到正极板 P 的线积分称为外源的电动势，以e 表示，即 e? NE?dl?121?9? P?e??E?dl达到动态平衡时，在外源内部E??E? ，所以上式又可写为 ? N

?2-7什么是驻立电荷？它和静止电荷有什么不同？

极板上的电荷分布虽然不变，但是极板上的电荷并不是静止的。它们是在不断地更替中保持分布特性不变，因此，这种电荷称为驻立电荷。驻立电荷是在外源作用下形成的，一旦外源消失，驻立电荷也将随之逐渐消失。

2-8试述电流连续性原理。

如果以一系列的曲线描述电流场，令曲线上各点的切线方向表示该点电流密度的方向，这些曲线称为电流线。电流线是连续闭合的。它和电场线不同，电流线没有起点和终点，这一结论称为电流连续性原理。

2-9给出磁通密度的定义。

?? ?描述磁场强弱的参数是磁通密度，又可称磁感应强度 F 这个矢量B就是磁?qv?B通密度，单位T（特）

2-10运动电荷，电流元以及小电流环在恒定磁场中受到的影响有何不同？

运动电荷受到的磁场力始终与电荷的运动方向垂直，磁场力只能改变其运动方向，磁场

???与运动电荷之间没有能量交换。 ?qvF?B

当电流元的电流方向与磁感应强度 B 平行时，受力为零；当电流元的方向与 B 垂直

???时，受力最大，电流元在磁场中的受力方向始终垂直于电流的流动方向。 F?Idl?B当电流环的磁矩方向与磁感应强度 B 的方向平行时，受到的力矩为零；当两者垂直时，

???????受到的力矩最大 T?Fl?IlBl?Il2B?ISBT?I(S?B)m?IST?m?B

2-11什么是安培环路定理？试述磁通连续性原理。 ? ??0

??4π?10?7 0为真空磁导率 ， (H/m)，I 为闭合曲线包围的电流。

? lB?dl?? 0 I安培环路定理表明：真空中恒定磁场的磁通密度沿任意闭合曲面的环量等于曲线包围的电流与真空磁导率的乘积。

? ?

B ? dS?0 S 真空中恒定磁场通过任意闭合面的磁通为0。

磁场线是处处闭合的，没有起点与终点，这种特性称为磁通连续性原理。

2-12什么是感应电动势和感应磁通？ ??d?E?dl??感应电场强度沿线圈回路的闭合线积分等于线圈中的感应电动势，即 ldt穿过闭合线圈中的磁通发生变化时，线圈中产生的感应电动势 e 为 e??d?dt

线圈中感应电流产生的感应磁通方向总是阻碍原有刺磁通的变化，所以感应磁通又称反磁通。

??2-13什么是电磁感应定律？

?? ??? l ? t S 称为电磁感应定律，它表明穿过线圈中的磁场变化时，导线中产生感应电场。它表明，时变磁场可以产生时变电场。

3-1、试述真空中静电场方程及其物理意义。

积分形式：∮sE?dS=q/ε ∮lE?dL=0 微分形式：！?E=ρ/ε ！×E=0

物理意义：真空中静电场的电场强度在某点的散度等于该点的电荷体密度与真空介电常数之比；旋度处处为零。

3-2、已知电荷分布，如何计算电场强度？

根据公式E（r）=∫v’ ρ（r’）(r-r’)dV’/4πε｜r-r’｜^3已知电荷分布可直接计算其电场强度。

3-3、电场与介质相互作用后，会发生什么现象？ 会发生极化现象。

3-7、试述静电场的边界条件。

在两种介质形成的边界上，两侧的电场强度的切向分量相等，电通密度的法向分量相等；在两种各向同性的线性介质形成的边界上，电通密度切向分量是不连续的，电场强度的法向分量不连续。

介质与导体的边界条件：en×E=0 en?D=ρs：若导体周围是各向同性的线性介质，则

?E?dl???B?dS