2019年江苏省南通市中考数学试卷含答案

【解析】先提取公因式，再利用平方差公式的顺序，x3?x?x?x2?1??x(x?1)(x?1). 故答案为：x(x?1)(x?1). 【考点】因式分解 14.【答案】70

【解析】先利用HL证明△ABE≌△CBF，可证?BCF??BAE?25?，再由AB?BC，

?ABC?90?，得出?BCA?45?，即可求出?BCA?45??25??70?.

故答案为：70. 【考点】全等的判定 15.【答案】9x?11?6x?16

【解析】总钱数?9?人数?11；总钱数?6?人数?16. 故答案为：9 x?11?6 x?16. 【考点】一元一次方程的应用 16.【答案】5

【解析】根据S侧?πRr，可知10π?π?R?2，可求得R?5. 故答案为：5.

【考点】圆锥侧面积公式 17.【答案】4

【解析】分别过点B、点C作y轴和x轴的平行线，两条平行线相交于点M，与x轴的

交点为N.将C(3,4)代入y?2x?b，可得b??2，然后求得A点坐标为(1,0)，利用全等的判定可证明△ABN≌△BCM，可得AN?BM?3，CM?BN?1，可求出B(4,1)，即可求出k?4，A点向上平移4个单位后得到的点(1,4)在y?4x，即a?4. 故答案为：4.

数学试卷 第9页（共18页）

（第17题）

【考点】反比例函数与几何图形的综合 18.【答案】33 【解析】过点P作PQ?AD于Q，由于?PDQ?60?，因此PQ?32PD，当B、P、Q三点共线时，即点B到AD的垂线段长即为PB?332PD的最小值，PB?2PD的

最小值为AB?sin60??33，

故答案为：33.

（第18题）

【考点】平行四边形的性质和线段之和最短 三、解答题

19.【答案】解：两边同乘以3，得4x?1?3x＞3. 移项，得4x?3x＞3?1. 合并同类项，得x＞4. 把解集在数轴上表示为：

【解析】先将分子、分母因式分解，然后约分化简，最后代入求值. 【考点】一元一次不等式的解法

数学试卷 第10页（共18页）

20.【答案】2?22

?m2?4m?4m2【解析】原式mgm?2 ?(m?2)2m2mgm?2 ?m2?2m，

把m?2?2代入上式， 原式?m2?2m

?m(m?2) ?(2?2)2 ?2?22. 故答案为：2?22. 【考点】分式的化简求值

?CA?21.【答案】证明：在△ABC和△DEC中，?CD??ACB??DCE，

??CB?CE∴△ABC≌△DEC，

∴AB?DE.

【解析】证明△ABC与△DEC全等，即可通过全等三角形对边相等完成证明. 【考点】全等的应用

22.【答案】P(1白1黄)?316?2

【解析】解：根据题意画出树状图：

由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有6种，这些结果出现的可能性相等.其中1

白1黄的有3种.所以P(1白1黄)?36?12.

【考点】概率的求法

数学试卷 第11页（共18页） 23.【答案】解：设每套《三国演义》的价格为x元，则每套《西游记》的价格为(x?40)元. 由题意，得

32002400x?2gx?40. 方程两边乘x(x?40)，得3200(x?40)?4800 x.

解得：x?80.经检验，x?80是原方程的解，且符合题意. 所以，原分式方程的解为x?80. 答：每套《三国演义》的价格为80元.

【解析】题目中包含两个相等关系，“《西游记》单价?《三国演义》单价?40元”，“3 200

元购买《三国演义》的套数?用2 400元购买《西游记》套数的2倍”，利用第一个相等关系设出未知数，第二个相等关系列出方程. 【考点】分式方程的应用 24.【答案】(1)二 一 (2)乙同学的推断比较科学合理.

理由：虽然二班成绩的平均分比一班低，但从条形图中可以看出，二班有3名学生的成

绩是1分，它在该组数据中是一个极端值，平均数受极端值影响较大，而中位数或众数不易受极端值的影响，所以，乙同学的推断更客观些.(答案不唯一，理由只要有理有据即可)

【解析】(1)方差越小，成绩越稳定；

(2)由于二班的成绩中出现了3个1分，这属于极端分数，影响了二班的平均分，因此

本题利用平均分来比较两班成绩是不合适的. 【考点】数据的收集，整理与描述

25.【答案】解：(1)连接OB，∵OA?OB，∴?ABO??A?30?.

∵?ACB?90?，?A?30?，∴?ABC?60?.

∴?OBC?30?.

在Rt△OBC中，cos?OBC?BCOB，即cos30??1OB. 解得OB?23233，即⊙O的半径为OB?3.

数学试卷 第12页（共18页）

(2)连接OP.

∵点P为劣弧AB的中点，∴OP?AB.

∴?QPO??A?30?.

在Rt△OQP中，cos?QPO?PQOP，sin?QPO?OQOP，即cos30??PQ23，sin30??OQ23. 33∴PQ?23323133g2?1，OQ?3g2?3. (3)在Rt△OBC中，OC?3233，∴CQ?3.

∴tan?PCA?PQ3CQ?2.

【解析】(1)若连接OB.则△BCO是一个含30?角的直角三角形，△AOB是底角为30?的等腰三角形，可分别在这两个三角形中求出OC和OA；

(2)可先求出?OPQ?30?，所以△OPQ是一个含30?角的直角三角形，且斜边长为半

径长；

(3)可在Rt△PCQ中解决，分别计算出两条直角边，即可求出tan?PCA的值. 【考点】圆，特殊三角函数值解直角三角形，垂径定理

26.【答案】(1)①图像开口向上；②图像的对称轴为直线x?2；③当x＞2时，y随x

的增大而增大；④当x＜2时，y随x的增大而减小；⑤当x?2时，函数有最小值. (2)∵二次函数的图像与一次函数y?2x?1的图像有两个交点，

∴x2?4x?3a?2?2x?1，即x2?6x?3a?3?0. ??36?4(3a?3)??12a?24＞0，解得a＜2.

∵二次函数的图像在x≤4的部分与一次函数y?2 x?1的图像有两个交点， ∴二次函数w?x2?6x?3a?3的图像与x轴x≤4的部分有两个交点. 结合图像，可知x?4时，x2?6x?3a?3≥0. ∴当x?4时，x2?6x?3a?3?3a?5≥0，得a≥53.

∴当二次函数的图像在x≤4的部分与一次函数y?2 x?1的图像有两个交点时，a的取

值范围为53≤a＜2.

数学试卷 第13页（共18页） 【解析】(1)可从开口方向、对称轴、开口大小这些角度来研究；

(2)逐将限制条件转化为不等式，有两个极限位置，一是直线经过抛物线上横坐标为4

的点，二是抛物线与直线有一个交点. 【考点】二次函数的性质

27.【答案】解：(1)连接AC，交EF于点O. 由对称可知：OA?OC，AC?EF. ∴AE?CE，AF?CF.

∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC. ∴?OAE??OCF，?OEA??OFC.

∴△OAE≌△OCF.

∴AE?CF.∴AE?CE?CF?AF. ∴四边形AFCE是菱形.

(2)∵△PEF的周长?PE?PF?EF， 又∵EF长为定值，

∴△PEF的周长最小时，即PE?PF最小.

作E关于直线CD的对称点E?，连接FE?交DC于点P?， 则PE?PF?PE??PF≥E?F，

因此，当点P与点P?重合时，△PEF的周长最小.

∵AB?2,AD?4,∴AC?25.∴OC?5 数学试卷 第14页（共18页）

由△COF∽△CBA，得

OCBC?CFCA.∴CF?52. 由画图可知：DE??DE?32.

3由△DE?P∽△CFP，得DPDE?23CP?CF?5?5.

2(3)设BP交AC于点Q，作BN?AC于点N.

∵?EMP?45?，∴OM?OQ，NQ?BN.

由ABgBC?ACgBN，得2?4?25gBN.

∴NQ?BN?455. 2在Rt△ABN中，AN?AB2?BN2?22???4?2?55???55.

?AQ?AN??NQ?655gCQ?AC?AQ?455.

由AB ∥ CP，得△ABQ∽△CPQ，得

ABCP?AQCQ. 6即25PC?54.解得PC?4. 553【解析】(1)利用垂直乎分线的性质证明AE?CE，AF?CF，然后再利用对称的性质

和平行的性质，证得AE?CF，即可证得四条边都相等；

(2)△PEF中，EF长是定值，因此本题考查的实际上是PE?PF的最小值，我们作E

关于CD的对称点E?，连接E?F，此时E?F最小；

(3)利用45?构造等腰直角三角形，设BP交AC于点Q，作BN?AC于点N.这时△BQN为等腰直角三角形，△ABN与△ABC相似，先在Rt△ABN中求出BN和AN的长，然后求出AQ，CQ的长，再根据△BAQ与△PCQ相似，求出PC的长.

数学试卷 第15页（共18页） 【考点】几何综合题

28.【答案】解：(1)由线点定义：x2?2y?t,y2?2x?t， 消去t，可得，(x?y)(x?y?2)?0， 由于x?y，可得x?y?2?0，

将P1、P2坐标代入表达式，易知P2为线点. (2)∵P(m,n)是“线点”，

∴m2?2n?t，n2?2m?t.

∴m2?n2?2(n?m)，m2?n2?2(n?m)?2t.

∵m?n，∴m?n??2.

∴(m?n)2?2mn?2(n?m)?2t. ∴4?2mn??4?2t. ∴mn??t?4.

∵m?n，∴(m?n)2＞0，即(m?n)2?4mn＞0.

∴t?3＞0.解得t＞3.

∴t的取值范围为t＞3.

(3)t?103或6.理由如下： ∵Q(m,n)为“线点”

∴n?m?2?0，∴Q是直线y??x?2上一点

又∵P为(m,n)，即P也满足y??x?2 ∴PQ所在直线方程为y??x?2

∴A(?2,0)，B(0,?2)，?AOB?90?

又∵|?POQ??AOB|?30?

∴?POQ?120?或?POQ?60?

当?POQ?120?，即点P、Q分别在二、四象限内，过O作OC?PQ，如图1， 数学试卷 第16页（共18页）