圆锥曲线常见题型归纳

圆锥曲线常见题型归纳

一、基础题 涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与a,b,c,e,p有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。此类题在考试中最常见，解此类题应注意：

? 熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形

状的关系；

? 如未指明焦点位置，应考虑焦点在x轴和y轴的两种（或四种）情况； ? 注意a,2a,a2，b,2b,b2，c,2c,c2，2p,p,p2的区别及其几何背景、出现位置

的不同，椭圆中c2?a2?b2，双曲线中c2?a2?b2，离心率e?ca，准线方程x??a2c；

二、定义题 对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。常用到的平面几何知识有：中垂线、角平分线的性质，勾股定理，圆的性质，解三角形（正弦余弦定理、三角形面积公式），当条件是用向量的形式给出时，应由向量的几何形式而用平面几何知识；涉及圆的解析几何题多用平面几何方法处理；

三、直线与圆锥曲线的关系题

? 写直线方程时，先考虑斜率k存在，把直线方程设为y?kx?b的形式，但随

后应对斜率k不存在的情况作出相应说明，因为k不存在的情况很特殊，一般是验证前面的结论此时是否成立；

? 联立直线方程和圆锥曲线方程，消去x或消去y，得到方程ax2?bx?c?0

① 或ay2?by?c?0 ②，此方程是后一切计算的基础，应确保不出错。 ? 当方程①或②的二次项系数a?0时,方程是一次方程，只有唯一解，不能用

判别式，这种情况是直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行；（过抛物线外一点作与抛物线只有一个公共点的直线有三条，过双曲线含中心的区域内一点（不在渐近线上）作与双曲线只有一个公共点的直线有

四条；）

? 当方程①或②的二次项系数a?0时，判别式△?0、△?0、△?0，与之相

对应的是，直线与圆锥曲线分别相离、相切、相交。如直线与圆锥曲线有公共点，应用△?0来求斜率k的范围；

? 直线与圆锥曲线相交成弦（前提a?0，△?0），记为AB，其中A(x1,y1)，

B(x2,y2)，AB的坐标可由方程①或②求得，一般是由方程①求出x1,x2，再代入直线方程求y1,y2，或由方程②求出y1,y2，再代入直线方程求x1,x2。 ? 涉及弦长问题，可用韦达定理，由方程ax2?bx?c?0 ①求出x1?x2,x1x2，

? A(x1,y1)，B(x2,y2)在直线y?kx?b上，∴y1?kx1?b，y2?kx2?b，

y1?y2?k(x1?x2),∴AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(1?k2)(x1?x2)2

?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2]?(1?k2)?。

a注意，如果联立直线和圆锥曲线方程，消去x，得到ay2?by?c?0 ②，继而用韦达定理，求出y1?y2,y1y2，?x1?x2?1(y1?y2),∴

kAB?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(1?1)(y1?y2)2 2k?(1?12)[(y1?y2)?4y1y2]?2k(1?1?； )ak22ax?bx?c?0 ①求出x1?x2，? 涉及弦中点问题，可用韦达定理，由方程

设弦A(x1,y1)B(x2,y2)的中点为M(x0,y0)，则x0?x1?x2，?M点也在直2线y?kx?b上，∴y0?kx0?b。如果问题仅仅与弦中点和弦的斜率k有关，而不涉及弦长，则可把弦AB的坐标(x1,y1)，(x2,y2)直接代入曲线方程，然后相减，因式分解，所得的式子中只有(x1?x2)、(x1?x2)、(y1?y2)、

(y1?y2)，这些都与弦中点坐标和弦的斜率k有关。

??????AB? 弦满足有关的向量的条件，如OA?OB?0（O为原点），则

x1x2?y1y2?0，? y1?kx1?b，y2?kx2?b，∴

x1x2?(kx1?b)(kx2?b)?(1?k2)x1x2?kb(x1?x2)?b2?0.

又如过椭圆x2?2y2?2的右焦点F1的直线l与该椭圆交于M,N两点，且

F1M?F2M?2263，求直线l的方程。

四、关于圆锥曲线的最值

? 圆锥曲线上的动点到一个定点的距离的最值。设动点的坐标M(x0,y0)，用两

点间的距离公式表示距离d，利用点M的坐标(x0,y0)满足圆锥曲线方程，消去y0（或消去x0），把d2表示成x0（或y0）的二次函数，因为x0（或y0）有一个取值范围（闭区间或半开半闭区间），所以问题转化为：求二次函数在闭区间上的最值。有时须针对二次函数的对称轴与闭区间的关系进行分类讨论。

? 圆锥曲线上的动点到一条定直线的距离的最值。作圆锥曲线与定直线平行的

切线，切点即为所求的点，切线与定直线的距离即为所求最值。 五、求动点的轨迹方程 ? 直接法

按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时；

例1、已知点A(?2,0)、B(3,0).动点P(x,y)满足PA?PB?x，则点P的轨迹为（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

2? 参数法（求曲线的基本方法）

若动点P（x，y）的坐标x与y之间的关系不易直接找到，而动点变化受到另一变量的制约，则可求出x、y关于另一变量的参数方程，再化为普通方程

例2、 过抛物线y2?2px（p?0）的顶点O作两条互相垂直的弦OA、OB，求弦AB的中点M的轨迹方程.

? 定义法（只求轨迹，不求方程，用几何性质及圆锥曲线定义）

动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空、选择题的形式出现

例3、一动圆与两圆x?y?1和x?y?8x?12?0都外切，则动圆圆心轨迹为 （A）抛物线 （B）圆 （C）双曲线的一支 （D）椭圆

2222? 相关点法

若动点M（x，y）依赖已知曲线上的动点N而运动，则可将转化后的动点N的坐标入已知

曲线的方程或满足的几何条件，从而求得动点M的轨迹方程，此法称为代入法，一般用于两个或两个以上动点的情况

例4、如图，从双曲线C:x2?y2?1上一点Q引直线l:x?y?2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程。

? 交轨法

当所求动点M恰好为两动曲线的交点并且两曲线随着某参量的变化而变化时，可以选用合适的参量，在写出只含有参量的两动曲线的方程的基础上，消去参量即可得动点方程。

x2y2例5、 如右图，垂直于x轴的直线交双曲线2?2?1于

abM、N两点，A1,A2为双曲线的左、右顶点，求直线A1M与

y M P A1 O A2 N x A2N的交点P的轨迹方程，并指出轨迹的形状.