反证法

反证法（又称背理法）是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），

然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。反证法与归谬法相似，但归谬法不仅包括推理出矛盾结果，也包括推理出不符事实的结果或显然荒谬不可信的结果。

1定义

反证法常称作Reductio ad absurdum，是拉丁语中的“转化为不可能”。

2原理

很多教科书中提到反证法时，只简单地讲了反证法的逻辑原理是逆否命题和原命题的真假性相同。但是实际的操作过程还用到了另一个原理，即：

原命题和原命题的否定是对立的存在：原命题为真，则原命题的否定为假；原命题为假，则原命题的否定为真。这一点可以从集合论的角度理解。

3操作过程

1）原理

若原命题：p≧q为真

先对原命题的结论进行否定，即写出原命题的否定：p≧非q

从这个否定的结论出发，推出矛盾，即命题：非q≧p为假（即存在矛盾） 从而该命题的否定为真：非q≧非p为真

再利用原命题和逆否命题的真假性一致，即原命题：p≧q为真

2）误区

否命题与命题的否定是两个不同的概念

命题的否定只针对原命题的结论进行否定。而否命题同时否定条件和结论： 原命题：p≧q

否命题：非p≧非q 命题的否定：p≧非q

原命题与否命题的真假性没有必然联系，但原命题和原命题的否定却是对立的存在，一个为真另一个必然为假。

4解释

反证法是“间接证明法”一类，是从反方向证明的证明方法，即：肯定题设而否定结论，经过推理导出矛盾，从而证明原命题。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从反论题入手，把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛盾，肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。 在应用反证法证题时，一定要用到“反设”，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。

5证明

反证法的证明主要用到“一个命题与其逆否命题同真假”的结论，为什么？这个结论可以用穷举法证明：

1

某命题：若A则B，则此命题有4种情况：

1.当A为真，B为真，则A→B为真，得﹁B﹁A为真； 2.当A为真，B为假，则A→B为假，得﹁B→﹁A为假； 3.当A为假，B为真，则A→B为真，得﹁B→﹁A为真； 4.当A为假，B为假，则A→B为真，得﹁B→﹁A为真； ∴一个命题与其逆否命题同真假 即关于〉=〈的问题：

大于 -〉反义：小于或等于

都大于-〉反义：至少有一个不大于 小于 -〉反义：大于或等于

都小于-〉反义：至少有一个不小于 即反证法是正确的。

与若A则B先等价的是它的逆否命题若﹁B则﹁A

假设﹁B,推出﹁A,就说明逆否命题是真的,那么原命题也是真的.

但实际推证的过程中,推出﹁A是相当困难的,所以就转化为了推出与﹁A相同效果的内容即可,这个相同效果就是与A(已知条件)矛盾,或是与已知定义,定理,大家都知道的事实等矛盾.

6使用

反证法在数学中经常运用。当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓\正难则反\。 牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明正面证明有困难,情况多或复杂,而逆否命题则比较浅显的题目，问题可能解决得十分干脆。 反证法的证题可以简要的概括为“否定→得出矛盾→否定”。即从否定结论开始，得出矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是辩证的“否定之否定”。应用反证法的是：

欲证“若P则Q”为真命题，从相反结论出发，得出矛盾，从而原命题为真命题。

1)证明步骤

（1）反设：假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立。 （2）归谬：从这个命题出发，经过推理证明得出矛盾。

（3）结论：由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论正确。

2)适用题型

（1）唯一性命题 （2）否定性题 （3）“至多”，“至少”型命题 （4）必然性命题 （5）起始性命题 （6）无限性命题 （7）不等式证明

7例题

一、选择题

1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( ) A．有一个解 B．有两个解

2

C．至少有三个解 D．至少有两个解 [答案] C

[解析] 在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.

2．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为( ) A．a、b、c都是奇数

B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数 C．a、b、c都是偶数

D．a、b、c中至少有两个偶数 [答案] B

[解析] a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”．故应选B.

3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( ) A．假设三内角都不大于60° B．假设三内角都大于60° C．假设三内角至多有一个大于60° D．假设三内角至多有两个大于60° [答案] B

[解析] “至少有一个不大于”的否定是“都大于60°”．故应选B.

4．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( )

A．假设a，b，c都是偶数 B．假设a、b，c都不是偶数 C．假设a，b，c至多有一个偶数 D．假设a，b，c至多有两个偶数 [答案] B

[解析] “至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c都不是偶数．

5．命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是( ) A．a

3

C．a＝b D．a≥b [答案] B

[解析] “a>b”的否定应为“a＝b或a

6．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为( ) A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 [答案] C

[解析] 假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C.

111

7．设a，b，c∈(－∞，0)，则三数a＋b，c＋a，b＋c中( ) A．都不大于－2 B．都不小于－2

C．至少有一个不大于－2 D．至少有一个不小于－2 [答案] C

1??1??1??

[解析] ?a＋b?＋?c＋a?＋?b＋c?

??????1??1??1??

＝?a＋a?＋?b＋b?＋?c＋c? ??????∵a，b，c∈(－∞，0)， 1??1??

∴a＋a＝－?－a＋?－a??≤－2

????1??1??

b＋b＝－?－b＋?－b??≤－2

????1??1??

c＋c＝－?－c＋?－c??≤－2

????1??1??1??

∴?a＋b?＋?c＋a?＋?b＋c?≤－6 ??????

111

∴三数a＋b、c＋a、b＋c中至少有一个不大于－2，故应选C. 8．若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则( ) A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行 B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直

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