2010届广东省高三六校第三次联考数学（理）试卷

????即??????3123x?y?z?0x??z??2233，解之，得?，取z??3，得x?3，y?1，∴n?(3,1,?3)．

311?y??1zx?y?z?0?3?223311??3??1??3AP?n9223从而cos?AP,n??， ???222130|AP|?|n|?3??1??1?222?????????????3?1??3?2??2??3???9即直线AP与平面A，∴直线AP与平面A1PQ所成角的正弦值为|cos?AP,n?|?1PQ所成角的余弦

130???9?7130值为1???130???130.

??17．解：（1）由f(x)?x3?f'??x2?x?C，得f'(x)?3x2?2f'??x?1．取x?22?2??3??2??3?2， 3?2??2??2??2??2?得f'???3????2f'??????1，解之，得f'????1，∴f(x)?x3?x2?x?C．

?3??3??3??3??3?从而f'(x)?3x2?2x?1?3?x???x?1?，列表如下：

x 1?3?1(?? , ?) 3??＋ ↗ f '(x) f(x) 1? 30 有极大值 1(? , 1) 3－ ↘ 1 0 有极小值 (1 , ??) ＋ ↗ ∴f(x)的单调递增区间是(??,?)和(1,??)；f(x)的单调递减区间是(?,1)．

13135?1??1??1??1?（2）由（1）知，[f(x)]极大值?f????????????????C??C；

333327????????32[f(x)]极小值?f(1)?13?12?1?C??1?C．∴方程f(x)?0有且只有两个不等的实数根，等价

于[f(x)]极大值?0或[f(x)]极小值?0,∴常数C??（3）由（2）知，f(x)?x3?x2?x?5或C?1． 275?1?或f(x)?x3?x2?x?1．而f????0， 27?3?所以f(x)?x3?x2?x?1． 令f(x)?x3?x2?x?1?0，得(x?1)2(x?1)?0，x1??1，x2?1． ∴所求封闭图形的面积??? 1 ?1411?1?x?x?x?1 dx??x4?x3?x2?x??．

32?4??1332?1O18．解：（1）OG?OP?PG?OP??PQ?OP??(OQ?OP)

Q?(1??)OP??OQ．

PAGMB图5（2）一方面，由（1），得OG?(1??)OP??OQ?(1??)xOA??yOB；①

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2111?(OA?OB)?OA?OB． ② 3233?11??3?3?,(1??)x?,??11?x3而OA、OB不共线，∴由①、②，得? 解之，得?，∴??3（定值）． 11xy??y?.??3?.?3??y1|OP|?|OQ|sin?POQ1T2|OP||OQ|1???xy,由点P、Q的定义知?x?1，?y?1， （3）?22S1|OA|?|OB|sin?AOB|OA||OB|211T122T4且x?时，y?1；x?1时，y?．此时，均有?,x?时，y?．此时，均有?．

22S233S94T1以下证明：??．

9S2另一方面，∵G是△OAB的重心，∴OG?OM?23T4xT4x24(3x?2)2由（2）知y?，∵?????0，∴?．

S9S93x?199(3x?1)3x?1T141TT1x21(x?1)(2x?1)∵?????0，∴?．∴的取值范围[,]．

SS292S23x?122(3x?1)??Tx1?112?T1?12?1??(x?)???，令t?x?，则??t???， 方法二:?xy?S3x?13?39(x?1)3?S3?9t3?3??3??1211T1?12?其中?t?．利用导数，容易得到，关于t的函数??t???在闭区间[,]上单调递减，在闭

6363S3?9t3?12111?112?42?T?区间[,]上单调递增,∴t?时，????????．而t?或t?时，

33363?S?min3?333?941T1?122?1?T???????．∴的取值范围[,]． 均有??S92?S?max3?633?22

3233即an?1?(an?1?an)，∴an?1?3an，n?N?,又S1?(a1?1)，即a1?(a1?1)，所以a1?3．∴{an}222n是首项为3，公比为3的等比数列．从而{an}的通项公式是an?3，n?N?．

32（2）设y?ai?3i?An，i?n，n?N?．当i?2k，k?N?时，

19．解：（1）因为Sn?(an?1)，n?N?，所以Sn?1?(an?1?1)．两式相减，得Sn?1?Sn?(an?1?an)，

3230k1k?10k?11k?2k?1k?1k∵y?32k?9k?(8?1)k?Ck8?Ck8???Ck?4?2(Ck8?Ck8???Ck)?1，8?Ck0k?11k?2∴y?B．当i?2k?1，k?N?时，∵y?32k?1?3?(8?1)k?1?3?(Ck?Ck? ?18?18??Ck?18?Ck?1)k?2k?11k?3?2?4?6(Ck0?18k?2?Ck???Ckk??181)?3，∴y?B,又∵集合An含n个元素，

?1?2 , n为偶数,∴在集合An中随机取一个元素y，有y?B的概率p(n)??．

n?1? , n为奇数.?2n20．证：（1）对于任意的x1,x2?[0,1]，有?1?x1?x2?1?1，|x1?x2?1|?1．

22从而|f(x1)?f(x2)|?|(x1?x1)?(x2?x2)|?|x1?x2||x1?x2?1|?|x1?x2|．∴函数f(x)?x2?x，

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x?[0,1]是“平缓函数”．

11（2）当|x1?x2|?时，由已知得|f(x1)?f(x2)|?|x1?x2|?；

2211当|x1?x2|?时，因为x1,x2?[0,1]，不妨设0?x1?x2?1，其中x2?x1?，因为

22f(0)?f(1)，所以|f(x1)?f(x2)|?|f(x1)?f(0)?f(1)?f(x2)|?|f(x1)?f(0)|?|f(1)?f(x2)|

111 ?|x1?0|?|1?x2|?x1?x2?1???1?.故对于任意的x1,x2?[0,1]，都有|f(x1)?f(x2)|?成立．

222（3）结合函数f(x)?alnx的图象性质及其在点x?m处的切线斜率，估计a的取值范围是闭 区间[?m,m]．

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