2010届广东省高三六校第三次联考数学（理）试卷

广东省六所名校2010届高三第三次联考

数学（理科） 2009.12.18

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是合 题目要求的．

1．如图1，正方体ABCD?A1B1C1D1中，异面直线BD1与A1D所成的角等于

A．30? B．45? C．60? D．90?

D1C1B1???2．要得到函数y?cos?2x??的图象，只要将函数y?sin2x的图象

4????A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

88??C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

44A1DACB图13．设X?[a,b]，Y?[c,d]都是闭区间，则“直积”X?Y?{(x,y)|x?X,y?Y}表示直角坐标平面上的

A．一条线段 B．两条线段 C．四条线段 D．包含内部及边界的矩形区域

012233444．设f(x)?C4?C4x?C4x?C4x?C4x，则导函数f'(x)等于

A．4(1?x)3 B．4(?1?x)3 C．4(1?x)3 D．4(?1?x)3 5．函数y?31log1(x?)x9在定义域内有

A．最大值

2211 B．最小值 C．最大值 D．最小值

22446．公差不为零的等差数列{an}中，a2，a3，a6成等比数列，则其公比q为

A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知向量a,b,x,y满足|a|?|b|?1，a?b?0，且??a??x?y，则|x|?|y|等于

b?2x?y?A．2?3 B．2?5 C．3?5 D．7

8．已知点(x,y)所在的可行域如图2所示．若要使目标函数z?ax?y取得最大值的最优解有无数多个，

yC(1 , 则a的值为

22)5A(5 , 2)153 A．4 B． C． D．

435

B(1 , 1)Ox图2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．把答案填在题中横线上．

9．将编号分别为1，2，3，4，5的五个红球和五个白球排成一排，要求同编号球相邻，但同色球不相邻，

1

则不同排法的种数为 _____（用数字作答）．

10．若△ABC的三个内角满足sin2A?sin2B?sinBsinC?sin2C，则?A等于 _______ ． 11．据研究，甲、乙两个磁盘受到病毒感染，感染的量y（单位：比特数）与时间x（单位：秒）的函数 关系式分别是y甲?ex和y乙?x2,显然，当x?1时，甲磁盘受到的病毒感染增长率比乙磁盘受到的病毒感 染增长率大．试根据上述事实提炼一个不等式是 ．

12．若偶函数f(x)在(??,0]内单调递减，则不等式f(?1)?f(lgx)的解集是 ______ ． 13．如图3，有一轴截面为正三角形的圆锥形容器，内部盛水的高度为h，放入一球后，水面恰好与 球相切，则球的半径为 _______ （用h表示）． 14．给出下列四个命题：

①设x1,x2?R，则x1?1且x2?1的充要条件是x1?x2?2且x1x2?1； ②任意的锐角三角形ABC中，有sinA?cosB成立； ③平面上n个圆最多将平面分成2n2?4n?4个部分； ④空间中直角在一个平面上的正投影可以是钝角．

其中真命题的序号是 （要求写出所有真命题的序号）．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分12分）

设有同频率的两个正弦电流I1?3sin(100?t?h图3?)，I2?sin(100?t?)，把它们合成后，得到电流

36?I?I1?I2．

（1）求电流I的最小正周期T和频率f；

（2）设t?0，求电流I的最大值和最小值，并指出I第一次达到最大值和最小值时的t值． 16．（本小题满分12分）

如图4，正三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1?AB?1，P、Q分别是侧棱BB1、CC1上的点，且使得折线APQA1的长AP?PQ?QA1最短． （1）证明：平面APQ?平面AA1C1C； （2）求直线AP与平面A1PQ所成角的余弦值．

17．（本小题满分14分）

PBAB1A1C1QC图4已知函数f(x)满足f(x)?x3?f'??x2?x?C（其中f'??为f(x)在点x?数）．

（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）若方程f(x)?0有且只有两个不等的实数根，求常数C；

?2??3??2??3?2处的导数，C为常3 2

（3）在（2）的条件下，若f????0，求函数f(x)的图象与x轴围成的封闭图形的面积． 18．（本小题满分14分）

如图5，G是△OAB的重心，P、Q分别是边OA、OB上的动点，且P、G、Q三点共线． （1）设PG??PQ，将OG用?、OP、OQ表示；

O?1??3?11?是定值； xyT（3）记△OAB与△OPQ的面积分别为S、T．求的取值范围．

S（2）设OP?xOA，OQ?y OB，证明：

19．（本小题满分14分）

已知数列{an}的前n项和Sn?(an?1)，n?N?． （1）求{an}的通项公式；

QPAMGB图532（2）设n?N+，集合An?{y|y?ai,i?n,i?N?}，B?{y|y?4m?1,m?N?}．现在集合An中随机取一个元素y，记y?B的概率为p(n)，求p(n)的表达式． 20．（本小题满分14分）

如果对于函数f(x)的定义域内任意的x1,x2，都有|f(x1)?f(x2)|?|x1?x2|成立，那么就称函数

f(x)是定义域上的“平缓函数”．

（1）判断函数f(x)?x2?x，x?[0,1]是否是“平缓函数”；

（2）若函数f(x)是闭区间[0,1]上的“平缓函数”，且f(0)?f(1)．证明：对于任意的x1,x2?[0,1]，都有|f(x1)?f(x2)|?1成立． 2（3）设a、m为实常数，m?0．若f(x)?alnx是区间[m,??)上的“平缓函数”，试估计a的取值

范围（用m表示，不必证明）． ．．．．

数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题：

题号 答案 二、填空题：

9．240 10.120° 11．e12．(0,x1 D 2 A 3 D 4 B 5 A 6 C 7 B 8 D ?2x

1)?(10,??)10 13．h 315 14．②④ ．

三、解答题：

3

13?cos100?t) )?sin(100?t?)?3(sin100?t?223631??(sin100?t?cos100?t)?3sin100?t?cos100?t?2sin(100?t?)

2262?11?，频率f??50． ∴电流I的最小正周期T?100?50T15．解：（1）（法1）∵I?I1?I2?3sin(100?t?方法二: ∵I?I1?I2?3sin(100?t????sin[(100?t?)?]?3sin(100?t?)?cos(100?t?)?2sin(100?t?),∴电流I的最小正周期

323362?11T??，频率f??50．

100?50Tk1?3????（2）由（1）当100?t???2k?，即t?，k?N时，Imax?2；当100?t???2k?，503006262k1即t??，k?N时，Imin??2．

507511而t?0，∴I第一次达到最大值时，t?；I第一次达到最小值时，t?．

7530016．解：（1）∵正三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1?AB?1，∴将侧面展开后，得到一个由三个正方形拼接而成的矩形A'A1'A1\A\,从而，折线APQA1的长AP?PQ?QA1最短，当且仅当A'、P、Q、A\四 点共线，∴P、Q分别是BB1、CC1上的三等分点，其中BP?C1Q????)?sin(100?t?)?3sin(100?t?)

363????1． 3B1A1C1Q连结AQ，取AC中点D，AQ中点E，连结BD、DE、EP．

由正三棱柱的性质，平面ABC?平面AA1C1C，而BD?AC，BD?平面ABC， 平面ABC?平面AA1C1C?AC，∴BD?平面AA1C1C．

PBECDA//又由（1）知，DE//?2CQ?BP，∴四边形BDEP是平行四边形，从而PE//BD．

∴PE?平面AA1C1C．而PE?平面APQ，∴平面APQ?平面AA1C1C．

1（2）由（2），同理平面A1PQ?平面AA1B1B．而AP?平面AA1B1B，平面A1PQ?平面AA1B1B?AP ∴A1PQ上的射影，从而?APA1是直线AP与平面A1PQ所成的角． 1P即为AP在平面A22在△APA1中，AA1?1，AP?AB?BP?101322，PA，由余弦定理，1?A1B1?B1P?331013??17130713099AP，即直线与平面所成角的余弦值为． APQcos?APA??1113013010132??33方法二:取BC中点O为原点，OA为x轴，OC为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系O?xyz，由

z1133,0,0)，A1(,0,1)，P(0,?,)， B（1）及正三棱柱的性质，可求得：A(C232231112A,?,)， Q(0,,)．从而AP?(?Q22323312311PA1P?(?,?,?)，A1Q?(?,,?)． 223223O???n?A1P?n?A1P?0BCyn?(x,y,z)设平面A的一个法向量为，则，所以， PQ??1??An?AQ1??n?A1Q?0x111 4