2020版高考数学大一轮复习-5.3平面向量的数量积教案（理）（含解析）新人教A版

1?ππ?∵x∈?－，?，∴≤cosx≤1， 2?34?13

∴当cosx＝时，f(x)取得最小值－；

22当cosx＝1时，f(x)取得最大值－1.

思维升华平面向量与三角函数的综合问题的解题思路

(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.

(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等. 跟踪训练2 在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝?

2??2

，－?，n＝(sinx，cosx)，

2??2

x∈?0，?.

2

??

π?

?

(1)若m⊥n，求tanx的值； π

(2)若m与n的夹角为，求x的值.

3解 (1)因为m＝?

2??2

，－?，n＝(sinx，cosx)，m⊥n.

2??2

22

sinx－cosx＝0， 22

所以m·n＝0，即

所以sinx＝cosx，所以tanx＝1. (2)因为|m|＝|n|＝1， π1

所以m·n＝cos＝，

32即

221sinx－cosx＝， 222

?π?1所以sin?x－?＝，

4?2?

ππππ

因为0

2444ππ5π

所以x－＝，即x＝. 4612

13

1.已知a，b为非零向量，则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 B

解析 根据向量数量积的定义式可知，若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或零角，若a与b的夹角为锐角，则一定有a·b>0，所以“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.

2.已知向量a＝(1,1)，b＝(2，－3)，若ka－2b与a垂直，则实数k的值为( ) A.1B.－1C.2D.－2 答案 B

解析 向量a＝(1,1)，b＝(2，－3)， 则ka－2b＝(k－4，k＋6).

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

14

若ka－2b与a垂直， 则k－4＋k＋6＝0， 解得k＝－1.故选B.

3.(2018·乌海模拟)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(3，2)，则|2a－b|等于( )

A.22B.17C.15D.25 答案 A

解析 根据题意，|a－b|＝3＋2＝5， 则(a－b)＝a＋b－2a·b＝5－2a·b＝5， 可得a·b＝0，结合|a|＝1，|b|＝2， 可得(2a－b)＝4a＋b－4a·b＝4＋4＝8， 则|2a－b|＝22，故选A.

4.(2018·辽阳模拟)非零向量a，b满足：|a－b|＝|a|，a·(a－b)＝0，则a－b与b夹角

2

2

2

2

2

2

θ的大小为( )

A.135°B.120°C.60°D.45° 答案 A

解析 ∵非零向量a，b满足a·(a－b)＝0， ∴a＝a·b，由|a－b|＝|a|可得，

2

a2－2a·b＋b2＝a2，

解得|b|＝2|a|，

?a－b?·ba·b－|b|

∴cosθ＝＝

|a－b||b||a||b|＝

|a|－2|a|

2|a|

2

2

2

2

＝－2

， 2

∴θ＝135°，故选A.

5.(2019·丹东模拟)已知两个单位向量a和b的夹角为60°，则向量a－b在向量a方向上的正投影为( ) 11

A.－1B.1C.－D.

22答案 D

解析 由题意可得|a|＝|b|＝1， 1

且a·b＝|a|×|b|×cos60°＝，

2

a·(a－b)＝a2－a·b＝1－＝，

15

1122

则向量a－b在向量a方向上的正投影为 1

?a－b?·a21

＝＝.故选D. |a|12

6.(2018·通辽质检)已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内(含边界)一动点，则→→

MA·MB的取值范围是( ) A.[－1,0] C.[－1,3] 答案 C

解析 如图所示，

B.[－1,2] D.[－1,4]

由题意可得，点M所在区域的不等式表示为(x－1)＋(y－1)≤1(0≤x≤2,0≤y≤2). 可设点M(x，y)，

2

2

A(0,0)，B(2,0).

→→

∴MA·MB＝(－x，－y)·(2－x，－y) ＝－x(2－x)＋y＝(x－1)＋y－1， 由?x－1?＋y∈[0,2]， →→

∴MA·MB∈[－1,3]，故选C.

7.(2018·营口模拟)若平面向量a，b满足(a＋b)·b＝7，|a|＝3，|b|＝2，则向量a与b的夹角为________. 答案

π 6

2

222

2

2

解析 ∵(a＋b)·b＝a·b＋b＝7， ∴a·b＝7－b＝3.

16

2