线性代数试题及答案

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量，则α所对应的特征值为 . 24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 . 三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分） 25.设A=

?120???340??????121?2，B=????23?1??40?.求（1）ABT；（2）|4A|.

3110?5?13132?4?1?326.试计算行列式?251.

27.设矩阵A=AB=A+2B.

?423????110?????123?，求矩阵B使其满足矩阵方程

?1?????3??2????4??3????0??2?????1??0?????1??4????9?28.给定向量组α1=

??2????1??0????3?，α2=，α3=，α4=

.

试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。 29.设矩阵A=

?1?2?1???242?2?10??3332??6?6?23??34?0.

求：（1）秩（A）；

（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。 30.设矩阵A=

?0?22?????2?34????24?3?的全部特征值为1，1和-8.求正交

矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.

31.试用配方法化下列二次型为标准形

2 f(x1,x2,x3)=x12?2x22?3x3?4x1x2?4x1x3?4x2x3， 并写出所用的满秩线性变换。

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四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 32.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且（E-A）-1

=E+A+A2.

33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明 （1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解； （2）η0，η1，η2线性无关。 答案：

一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）

1.D 2.B 3.B 4.D 5.C 6.D 7.C 8.A 9.A 10.B 11.A 12.B 13.D 14.C

二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分） 15. 6

337?16. ??? ??1?37?17. 4 18. –10

19. η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c为任意常数 20. n-r 21. –5 22. –2 23. 1

222?z224. z12?z3?z4

三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分） 25.解（1）AB=

T

?120??2?2??????340??34???????121???10?

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=

13?86????1810????310?.

（2）|4A|=43|A|=64|A|，而 |A|=

32040??2.

5110?5?13131?100?121所以|4A|=64·（-2）=-128

110?511?51210?1?10?62?30?10?40.?13132?4?1?3?26.解

5?521?110?5

=?11?5

?5?5=?65

?5?5027.解 AB=A+2B即（A-2E）B=A，而

（A-2E）=

-1

?223???1?10??????121??1?1?4?3?????1?5?3?.????164?

所以 B=(A-2E)A=

=

28.解一

?3?8?6???2?9?6??.????2129?-1

?1?4?3??423??????1?5?3??110???????164???123?

??2130??0?53?2?????1?30?11?30?1????????0224??0112??????34?19??013?112?05??1??112?0?????0088???0?14?14??03035??112?011??000??1?0?????0??0

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?1?0?????0??0002??101?,011??000?

所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）. 解二 考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，

即

??2x1?x2?3x3?0?x?3x??1?12??2x2?2x3?4??3x1?4x2?x3?9.

方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）.

29.解 对矩阵A施行初等行变换

A

?1?2?1?000?????032??0962??6?2?8?2??3?2?0

2??8?3?3?1??00?02??1?2?10?1?2?1???0328?3?032?????????000?0006?2????000?217???000=B.

（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.

（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。

（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）

30.解 A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为

ξ1=（2，-1，0）T， ξ2=（2，0，1）T.

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