《直线与圆的位置关系》专题练习(2)

【分析】（1）连接OB，由圆周角定理得出∠ABC=90°，得出∠C+∠BAC=90°，再由OA=OB，得出∠BAC=∠OBA，证出∠PBA+∠OBA=90°，即可得出结论；

（2）证明△ABC∽△PBO，得出对应边成比例，即可求出BC的长． 【解答】（1）证明：连接OB，如图所示： ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC=90°，

∴∠C+∠BAC=90°， ∵OA=OB，

∴∠BAC=∠OBA， ∵∠PBA=∠C，

∴∠PBA+∠OBA=90°， 即PB⊥OB，

∴PB是⊙O的切线； （2）解：∵⊙O的半径为2∴OB=2

，AC=4

，

，

∵OP∥BC， ∴∠C=∠BOP，

又∵∠ABC=∠PBO=90°， ∴△ABC∽△PBO， ∴

，

即∴BC=2．

，

【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握圆周角定理、切线的判定是解决问题的关键．

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20．（2016?荆门）如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线的一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C，过点C作CE⊥DF，垂足为点E． （1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）若AE=1，CE=2，求⊙O的半径．

【分析】（1）证明：连接CO，证得∠OCA=∠CAE，由平行线的判定得到OC∥FD，再证得OC⊥CE，即可证得结论；

（2）证明：连接BC，由圆周角定理得到∠BCA=90°，再证得△ABC∽△ACE，根据相似三角形的性质即可证得结论． 【解答】（1）证明：连接CO， ∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC， ∵AC平分∠FAB， ∴∠OCA=∠CAE， ∴OC∥FD， ∵CE⊥DF， ∴OC⊥CE，

∴CE是⊙O的切线；

（2）证明：连接BC， 在Rt△ACE中，AC=∵AB是⊙O的直径， ∴∠BCA=90°， ∴∠BCA=∠CEA， ∵∠CAE=∠CAB， ∴△ABC∽△ACE， ∴

=

，

=

=

，

∴，

∴AB=5，

∴AO=2.5，即⊙O的半径为2.5．

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【点评】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，平行线的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解决问题的关键． 21．（2016?宁波）如图，已知⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）求DE的长．

【分析】（1）连接OD，欲证明DE是⊙O的切线，只要证明OD⊥DE即可．

（2）过点O作OF⊥AC于点F，只要证明四边形OFED是矩形即可得到DE=OF，在RT△AOF中利用勾股定理求出OF即可． 【解答】证明：（1）连接OD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAE=∠DAB，

∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAO， ∴∠ODA=∠DAE， ∴OD∥AE， ∵DE⊥AC， ∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O切线．

（2）过点O作OF⊥AC于点F， ∴AF=CF=3， ∴OF=

=

=4．

∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°， ∴四边形OFED是矩形， ∴DE=OF=4．

【点评】本题考查切线的判定、矩形的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是记住切线的判定方法，学会添加常用辅助线，属于基础题，中考常考题型．

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22．（2016?南宁）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E． （1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若OB=10，CD=8，求BE的长．

【分析】（1）连接OD，由BD为角平分线得到一对角相等，根据OB=OD，等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，进而确定出OD与BC平行，利用两直线平行同位角相等得到∠ODA为直径，即可得证； （2）由OD与BC平行得到三角形OAD与三角形BAC相似，由相似得比例求出OA的长，进而确定出AB的长，连接EF，过O作OG垂直于BC，利用勾股定理求出BG的长，由垂径定理可得BE=2BG． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵BD为∠ABC平分线， ∴∠1=∠2， ∵OB=OD， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴OD∥BC， ∵∠C=90°， ∴∠ODA=90°，

则AC为圆O的切线；

（2）解：过O作OG⊥BC，连接OE， ∴四边形ODCG为矩形，

∴GC=OD=OB=10，OG=CD=8，

在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG=6， ∵OG⊥BE，OB=OE， ∴BE=2BG=12． 解得：BE=12．

【点评】此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键． 23．（2016?贺州）如图，在△ABC中，E是AC边上的一点，且AE=AB，∠BAC=2∠CBE，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BE于点F．

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