《直线与圆的位置关系》专题练习(2)

【分析】（1）由切线长定理可知AD=AE，易得∠ADE=∠AED，因为DE∥BC，由平行线的性质得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，可得∠B=∠C，易得AB=AC；

（2）如图，连接AO，交DE于点M，延长AO交BC于点N，连接OE、DG，设⊙O半径为r，由△AOD∽△ABN得=，得到AD=r，再由△GBD∽△ABN得=，列出方程即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵AD、AE是⊙O的切线， ∴AD=AE，

∴∠ADE=∠AED， ∵DE∥BC，

∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC；

（2）解：如图，连接AO，交DE于点M，延长AO交BC于点N，连接OE、DG，设⊙O半径为r，

∵四边形DFGE是矩形， ∴∠DFG=90°， ∴DG是⊙O直径，

∵⊙O与AB、AC分别相切于点D、E， ∴OD⊥AB，OE⊥AC， ∵OD=OE，OE⊥AC， ∵OD=OE．

∴AN平分∠BAC，∵AB=AC， ∴AN⊥BC，BN=BC=6， 在RT△ABN中，AN=

=

=8，

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∵OD⊥AB，AN⊥BC， ∴∠ADO=∠ANB=90°， ∵∠OAD=∠BAN， ∴△AOD∽△ABN， ∴

=

，即=

，

∴AD=r，

∴BD=AB﹣AD=10﹣r， ∵OD⊥AB，

∴∠GDB=∠ANB=90°， ∵∠B=∠B，

∴△GBD∽△ABN，

∴∴r=

=，即，

=，

∴四边形DFGE是矩形时⊙O的半径为．

【点评】本题考查圆、切线的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用参数解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题． 17．（2016?梧州）如图，过⊙O上的两点A、B分别作切线，并交BO、AO的延长线于点C、D，连接CD，交⊙O于点E、F，过圆心O作OM⊥CD，垂足为M点． 求证：（1）△ACO≌△BDO；（2）CE=DF．

【分析】（1）直接利用切线的性质得出∠CAO=∠DBO=90°，进而利用ASA得出△ACO≌△BDO；

（2）利用全等三角形的性质结合垂径定理以及等腰三角形的性质得出答案． 【解答】证明：（1）∵过⊙O上的两点A、B分别作切线， ∴∠CAO=∠DBO=90°， 在△ACO和△BDO中

∵，

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∴△ACO≌△BDO（ASA）；

（2）∵△ACO≌△BDO， ∴CO=DO， ∵OM⊥CD，

∴MC=DM，EM=MF， ∴CE=DF． 【点评】此题主要考查了切线的性质以及全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质等知识，正确得出△ACO≌△BDO是解题关键． 18．（2016?扬州）如图1，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边BC于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点D，且ED⊥AC．

（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）如图2，若线段AB、DE的延长线交于点F，∠C=75°，CD=2﹣

，求⊙O的半径和

BF的长． 【分析】（1）连接OE，根据切线性质得OE⊥DE，与已知中的ED⊥AC得平行，由此得∠1=∠C，再根据同圆的半径相等得∠1=∠B，可得出三角形为等腰三角形；

（2）通过作辅助线构建矩形OGDE，再设与半径有关系的边OG=x，通过AB=AC列等量关系式，可求得结论． 【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由是： 如图1，连接OE， ∵DE是⊙O的切线， ∴OE⊥DE， ∵ED⊥AC， ∴AC∥OE， ∴∠1=∠C， ∵OB=OE， ∴∠1=∠B， ∴∠B=∠C，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）如图2，过点O作OG⊥AC，垂足为G，则得四边形OGDE是矩形， ∵△ABC是等腰三角形， ∴∠B=∠C=75°，

∴∠A=180°﹣75°﹣75°=30°， 设OG=x，则OA=OB=OE=2x，AG=

x，

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∴DG=0E=2x， 根据AC=AB得：4x=

x+2x+2﹣

，

x=1，

∴0E=OB=2，

在直角△OEF中，∠EOF=∠A=30°， cos30=∴BF=

，OF=

=2÷

=

，

﹣2，⊙O的半径为2．

【点评】本题考查了切线的性质，由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系，由此得出平行和角的关系，根据两个角相等的三角形是等腰三角形可得△ABC是等腰三角形；第二问运用了直角三角形30°角的性质及等腰三角形和矩形的有关性质，关键是找出恰当的等量关系式：AC=AB，设未知数，列关于x的一元一次方程得出结论． 19．（2016?枣庄）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为2

，求BC的长．

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