《直线与圆的位置关系》专题练习(2)

∴AF=

∴⊙O的半径为

．

【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，本题涉及的知识点：两直线平行，等腰三角形的判定、三角形相似． 13．（2016?天津）在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．

（Ⅰ）如图1．过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=27°，求∠P的大小；

（Ⅱ）如图2，D为

上一点，且OD经过AC的中点E，连接DC并延长，与AB的延长

线相交于点P，若∠CAB=10°，求∠P的大小．

【分析】（Ⅰ）连接OC，首先根据切线的性质得到∠OCP=90°，利用∠CAB=27°得到∠COB=2∠CAB=54°，然后利用直角三角形两锐角互余即可求得答案；

（Ⅱ）根据E为AC的中点得到OD⊥AC，从而求得∠AOE=90°﹣∠EAO=80°，然后利用圆周角定理求得∠ACD=∠AOD=40°，最后利用三角形的外角的性质求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）如图，连接OC， ∵⊙O与PC相切于点C， ∴OC⊥PC，即∠OCP=90°， ∵∠CAB=27°，

∴∠COB=2∠CAB=54°，

在Rt△AOE中，∠P+∠COP=90°， ∴∠P=90°﹣∠COP=36°；

（Ⅱ）∵E为AC的中点， ∴OD⊥AC，即∠AEO=90°， 在Rt△AOE中，由∠EAO=10°， 得∠AOE=90°﹣∠EAO=80°， ∴∠ACD=∠AOD=40°，

∵∠ACD是△ACP的一个外角， ∴∠P=∠ACD﹣∠A=40°﹣10°=30°．

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【点评】本题考查了切线的性质，解题的关键是能够利用圆的切线垂直于经过切点的半径得到直角三角形，难度不大． 14．（2016?资阳）如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连结BD．

（1）求证：∠A=∠BDC；

（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD、BD于点M、N，当DM=1时，求MN的长．

【分析】（1）由圆周角推论可得∠A+∠ABD=90°，由切线性质可得∠CDB+∠ODB=90°，而∠ABD=∠ODB，可得答案； （2）由角平分线及三角形外角性质可得∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，根据勾股定理可求得MN的长． 【解答】解：（1）如图，连接OD，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，即∠A+∠ABD=90°， 又∵CD与⊙O相切于点D， ∴∠CDB+∠ODB=90°， ∵OD=OB，

∴∠ABD=∠ODB， ∴∠A=∠BDC；

（2）∵CM平分∠ACD， ∴∠DCM=∠ACM， 又∵∠A=∠BDC，

∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM， ∵∠ADB=90°，DM=1，

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∴DN=DM=1， ∴MN=

=

．

【点评】本题主要考查切线的性质、圆周角定理、角平分线的性质及勾股定理，熟练掌握切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径是解本题的关键，． 15．（2016?营口）如图，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，OE⊥AB交⊙O于点E，连接CA、CE、CB，过点A作AF⊥CE于点F，延长AF交BC于点P．

（1）求证：CA=CP； （2）连接OF，若AC=

，∠D=30°，求线段OF的长．

【分析】（1）先利用直角三角形的两锐角互余和对顶角，得出∠BAP=∠OEG，再用同弧所对的圆周角相等得出∠ABC=∠AEC，最后用三角形的外角得出∠APC=∠AEO=45°即可； （2）先利用切线的性质得出∠AOC=60°，进而得出∠BAC=60°，再利用锐角三角函数求出BC，进而得出BP，最后利用三角形的中位线判断出OF=BP即可． 【解答】解：（1）如图1，

连接AE， ∵OE⊥AB，

∴∠AOE=90°，∠AEO=45°， ∴∠OEG+∠OGE=90°， ∵AF⊥CE， ∴∠AFG=90°，

∴∠FAG+∠AGF=90°， ∵∠AGF=∠OGE， ∴∠OEG=∠BAP， ∵∠AEC=∠ABC，

∴∠APC=∠ABC+∠BAP=∠AEC+∠OEG=∠AEO=45°， ∵AB是⊙O直径， ∴∠ACB=90°，

∴∠BAC=90°﹣∠APC=45°=∠APC，

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∴CA=CP； （2）如图2，

连接OC，

∵CD是⊙O的切线， ∴∠DCO=90°， ∵∠D=30°， ∴∠AOC=60°， ∵OA=OC， ∴∠BAC=60° 在Rt△ABC中，AC=

，

×

=3，

∴BC=ACtan∠BAC=ACtan60°=由（1）知，CP=AC=∴BP=BC﹣CP=3﹣由（1）知AC=CP， ∵AF⊥CE， ∴AF=PF， ∵OA=OB，

， ，

∴OF=BP=（3﹣）．

【点评】此题是切线的性质，主要考查了圆的性质，直角三角形的性质，三角形的中位线，圆周角的性质，求出∠APC=45°，和求出∠BAC=60°是解本题的关键． 16．（2016?南京）如图，O是△ABC内一点，⊙O与BC相交于F、G两点，且与AB、AC分别相切于点D、E，DE∥BC，连接DF、EG． （1）求证：AB=AC．

（2）已知AB=10，BC=12，求四边形DFGE是矩形时⊙O的半径．

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