(江苏专版)2019版高考数学一轮复习第二十章计数原理20.1两个计数原理、排列与组合讲义

因为a+b能被2整除,所以a,b应同是奇数或同是偶数,所以a,b应该取自同一个集合A或B. 故有

+=

+

=k种取法,

2

即An==.

所以An=

8.(苏教选2—3,一,3,11,变式)某医院从10名医疗专家中抽调6名组成医疗小组到社区义诊,其中这10名医疗专家中有4名是外科专家.问:

(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种? (2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种? (3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种?

解析 (1)首先从4名外科专家中抽调2名,有种抽调方法,再从6名非外科专家中抽调4名,有种抽调方法,所以共有·=90种抽调方法.

(2)解法一:(直接法)按抽调的外科专家的人数分类: ①抽调2名外科专家,共有·种抽调方法; ②抽调3名外科专家,共有·种抽调方法; ③抽调4名外科专家,共有·种抽调方法, 根据分类加法计数原理,共有

·+·+·=185种抽调方法. 解法二:(间接法)不考虑是否有外科专家,共有若没有外科专家参加,则有种抽调方法, 所以共有

-·-=185种抽调方法.

种抽调方法,若抽调1名外科专家参加,则有·种抽调方法;

(3)“至多有2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况, ①没有外科专家参加,有种抽调方法; ②有1名外科专家参加,有·种抽调方法; ③有2名外科专家参加,有·种抽调方法. 所以共有+·+·=115种抽调方法.

B组 2016—2018年模拟·提升题组

(满分:35分 时间:20分钟)

一、填空题(每小题5分,共5分)

5

1.(2017江苏扬州期末)如图,用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法共有 种.

答案 264

二、解答题(共30分)

2.(2017江苏扬州中学质检)在正整数列1,2,3,…,n中,任取k个元素位置保持不动,将其余(n-k)个元素变动位置,得到不同的新数列.由此产生的不同新数列的个数记为Pn(k). (1)求P3(1); (2)求(3)证明

P4(k); kPn(k)=n

Pn-1(k),并求出

kPn(k)的值.

解析 (1)当n=3时,数列为1,2,3,保持其中1个元素位置不动,将其余2个元素变动位置,可能得到的新数列只有1,3,2或3,2,1或2,1,3, 所以P3(1)=3. (2)=

P4(k)=P4(0)+P4(1)+P4(2)+P4(3)+P4(4) (1+2)+

++0+1=9+8+6+0+1=24.

(3)在数列1,2,…,n中任取其中k个元素位置不动,有种取法;其余(n-k)个元素重新排列,并且使其余n-k个元素都要改变位置,则有Pn(k)=Pn-k(0), 故所以=n令an=

kPn(k)=kPn(k)=

kPn-k(0),又因为k=nkPn-k(0)

Pn-1(k).

(k≥1),

Pn-k-1(0)=n

kPn(k),则an=nan-1,n≥2,且a1=1.

于是a2a3a4…an-1an=2a1×3a2×4a3×…×nan-1,

左右同除以a2a3a4…an-1,得an=2a1×3×4×…×n=n!, 所以

kPn(k)=n!.

*

3.(2017江苏南通、扬州、泰州第二次调研)设S4k=a1+a2+…+a4k(k∈N),其中ai∈{0,1}(i=1,2,…,4k).当S4k除以4的余数是b(b=0,1,2,3)时,数列a1,a2,…,a4k的个数记为m(b). (1)当k=2时,求m(1)的值;

(2)求m(3)关于k的表达式,并化简.

解析 (1)当k=2时,m(1)表示数列a1,a2,a3,…,a8中有1个1或5个1,其余为0,所以m(1)=+=64. (2)依题意,m(3)表示数列a1,a2,…,a4k中有3个1,或7个1,或11个1,……,或(4k-1)个1,其余为0,

6

所以m(3)=+++

+…++

+…+

. .

同理,得m(1)=因为

=

(i=3,7,11,…,4k-1),

所以m(1)=m(3). 又m(1)+m(3)=所以m(3)=2

4k-2

+

2k-1

+.

+…++=2

4k-1

,

=4

C组 2016—2018年模拟·方法题组

方法1 两个基本原理应用的解题策略

1.(2017安徽蚌埠二中等四校联考,15)甲与其四位朋友各有一辆私家车,车牌尾数分别是0,0,2,1,5,为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行,偶数日车牌尾数为偶数的车通行),五人商议拼车出行,每天任选一辆符合规定的车,但甲的车最多只能用一天,则不同的用车方案数为 . 答案 64

方法2 排列、组合及其应用的解题策略

2.(2017江西新余第二次模拟,8)7人站成两排,前排3人,后排4人,现将甲、乙、丙3人加入队列,前排加1人,后排加2人,其他人保持相对位置不变,则不同的加入方法有 种. 答案 360

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