（江苏专版）2019版高考数学一轮复习第二十章计数原理20.1两个计数原理、排列与组合讲义 - 图文

§20.1 两个计数原理、排列与组合

考纲解读

考点 1.分类加法计数原理、分步乘法计数原理、排列与组合 2.二项式定理

内容解读

要求

五年高考统计

常考题型 预测热度

2013 2014 2015 2016 2017

23题 10分

★☆☆

计数问题

二项式定理展开式及其运用

B

B

★★☆

分析解读 江苏高考对两个计数原理、排列、组合、二项式定理的考查往往与集合,数列,概率进行综合,难度大,考查二项式定理的题目类型主要是①证明某些整除问题或求余数;②证明有关不等式,也可能与概率,数学归纳法综合在一起考查.

命题探究

答案:14

解析:当m=4时,数列{an}共有8项,其中4项为0,4项为1,要满足对任意k≤8,a1,a2,…,ak中0的个数不

少于1的个数,则必有a1=0,a8=1,a2可为0,也可为1.(1)当a2=0时,分以下3种情况:①若a3=0,则

1

a4,a5,a6,a7中任意一个为0均可,则有=4种情况;②若a3=1,a4=0,则a5,a6,a7中任意一个为0均可,有=3种情况;③若a3=1,a4=1,则a5必为0,a6,a7中任一个为0均可,有=2种情况;(2)当a2=1时,必有a3=0,分以下2种情况:①若a4=0,则a5,a6,a7中任一个为0均可,

有=3种情况;②若a4=1,则a5必为0,a6,a7中任一个为0均可,有=2种情况.综上所述,不同的“规范01数列”共有4+3+2+3+2=14个.

五年高考

考点 分类加法计数原理、分步乘法计数原理、排列与组合

1.(2017山东理改编,8,5分)从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 .

答案

2.(2017课标全国Ⅱ理改编,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有 种. 答案 36

3.(2017浙江,16,5分)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有 种不同的选法.(用数字作答) 答案 660

4.(2017天津理,14,5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有 个.(用数字作答) 答案 1 080

5.(2016课标全国Ⅱ理改编,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 .

答案 18

6.(2016四川理改编,4,5分)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为 . 答案 72

7.(2015广东,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了 条毕业留言.(用数字作答) 答案 1 560

8.(2015四川改编,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有 个. 答案 120

9.(2014四川改编,6,5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有 种. 答案 216

10.(2014安徽改编,8,5分)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有 对. 答案 48

11.(2014重庆改编,9,5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是 .

2

答案 120

12.(2016江苏,23,10分) (1)求7-4的值; (2)设m,n∈N,n≥m,求证: (m+1)+(m+2)

+(m+3)

+…+n

+(n+1)=(m+1)

=0.

.

*

解析 (1)7-4=7×-4×

(2)证明:当n=m时,结论显然成立.当n>m时, (k+1)==(m+1)·=(m+1)又因为

,k=m+1,m+2,…,n. +

=

, -),k=m+1,m+2,…,n.

+…+(n+1) +…+(n+1)] )+(

-)+…+(

所以(k+1)=(m+1)(因此,(m+1)+(m+2)=(m+1)+[(m+2)=(m+1)

+(m+1)[(

+(m+3)+(m+3)

-

-)]=(m+1).

教师用书专用(13—19)

2

13.(2013福建理改编,5,5分)满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为 . 答案 13

14.(2013浙江理,14,4分)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有 种(用数字作答). 答案 480

15.(2014浙江,14,5分)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有 种(用数字作答). 答案 60

16.(2014大纲全国改编,5,5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组.则不同的选法共有 种. 答案 75

17.(2014北京,13,5分)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有 种. 答案 36

18.(2013重庆理,13,5分)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是 (用数字作答). 答案 590

19.(2013北京理,12,5分)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张.如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是 . 答案 96

三年模拟

3

A组 2016—2018年模拟·基础题组

考点 分类加法计数原理、分步乘法计数原理、排列与组合

1.(2018山东师大附中第三次模拟)将编号为1,2,3,4的球放入编号为1,2,3的盒子中,要求不允许有空盒子,且球与盒子的编号不能相同,则不同的放法有 种. 答案 12

2.(苏教选2—3,一,3,5,变式)房间里有5个电灯,分别由5个开关控制,至少开一个灯用以照明,则不同的开灯方法种数为 . 答案 31

3.(2017江苏泰州期中)将数字1,2,3,4,5,6按第一行1个数,第二行2个数,第三行3个数的形式随机排列,设Ni(i=1,2,3)表示第i行中最大的数,则满足N1

4.(2017江苏苏州调研)从集合U={a,b,c,d}的子集中选出4个不同的子集,需同时满足以下两个条件: (1)?,U都要选出;

(2)对选出的任意两个子集A和B,必有A?B或A?B.那么,共有 种不同的选法. 答案 36

5.(2017江苏南通期中)20个完全相同的小球放入编号为1号,2号,3号的三个盒子中,要求每个盒内的球数不小于它的编号数,则不同的放法种数为 . 答案 120

6.(2017江苏扬州中学模拟)已知集合A={a1,a2,a3,a4},B={0,1,2,3},f是从A到B的映射. (1)若B中每一个元素都有原象,这样不同的f有多少个? (2)若B中的元素0无原象,这样的f有多少个?

(3)若f满足f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)=4,这样的f有多少个?

解析 (1)显然映射是一一对应的,即a1找象有4种方法,a2找象有3种方法,a3找象有2种方法,a4找象有1种方法,所以不同的f共有4×3×2×1=24(个).

4

(2)0无原象,1,2,3有无原象不限,所以为A中每一元素找象时都有3种方法,所以不同的f共有3=81(个). (3)分为如下四类:

第一类,A中每一个元素都与1对应,有1种方法;

第二类,A中有两个元素对应1,一个元素对应2,另一个元素对应0,有·=12种方法; 第三类,A中有两个元素对应2,另两个元素对应0,有·=6种方法;

第四类,A中有一个元素对应1,一个元素对应3,另两个元素对应0,有·=12种方法.

所以不同的f共有1+12+6+12=31(个).

7.(2017江苏灌南中学质检)设整数n≥4,在集合{1,2,3,…,n}中任取两个不同元素a,b(a>b),记An为满足a+b能被2整除的取法种数. (1)当n=6时,求An; (2)求An.

解析 (1)当n=6时,集合中偶数为2,4,6;奇数为1,3,5. 要使a+b为偶数,则a,b同奇或同偶,共有+=6种取法,即A6=6.

(2)①当n=2k(k≥2,k∈N)时,集合为{1,2,3,…,2k}.记A={1,3,5,…,2k-1},B={2,4,6,…,2k},因为a+b能被2整除,所以a,b应同是奇数或同是偶数,所以a,b应取自同一个集合A或B, 故有+=

+

=k(k-1)种取法.

*

即An==.

*

②当n=2k+1(k≥2,k∈N)时, 集合为{1,2,3,…,2k+1}.

将其分为两个集合:奇数集A={1,3,…,2k+1},偶数集B={2,4,…,2k}.

4