毕业论文--n阶行列式的计算方法探索

照位置次序构成的n-1阶行列式，称为元素aij的余子式，记为Mij，

代数余子式：当Aij=（-1）i+jMij，称Aij为元素Aij的代数余子式。 在了解了余子式和代数余子式之后，再补充一条关于行列式的值的定理，

定理：行列式的值等于它的某一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。 因此，我们可以把一个n阶行列式的计算置换成n个（n-1）阶行列式来计算，这种方法通常应用在一般是行列式某一行或某一列含有较多的零时。

5137-1202335210 50例4 计算0-2020-4-140解:原式=

53?1233150?202-223315-203616

(?1)2?5?20?4?14?-2?5-4-14?-100-72

??-10??-2?-7266

?20?-42-12??-1080

注：由行列式的展开定理，我们可以把有些行列式展开来，展开成若干个低一阶的行列式的代数和，如果有必要的话，我们可以继续展开下去，直到方便计算求和，这种方法叫做降阶法。

x0yx0...0y...000 例5 计算n 阶行列式D=..................

000...xyy00...0x 解: 依第一列展开得

５

xyx00...0y...00...000xy0...0y...00...x00yD=

00..................+(- 1)n+1y

x0...............

=xn+(- 1)n+1yn

2.5 加边法

还有一种常用的行列式计算方法--加边法，也就是升阶法。有时候为了方便计算行列式，特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这种计算行列式的方法称为加边法或升阶法。当然，加边后的行列式必须是保值的，而且要使所得的高一阶行列式容易计算。这就要求我们在选取所加的行和列要根据需要和原行列式的特点。加边法适用于某一行（列）只有一个不相同的元素的情况，也可用于其行（列）的元素分别为n-1个元素的倍数的情况。加边法的一般做法是：

a11...a1n...an1...10*...*1*010*......0*...??*0a11...a1n

...............ann...............0an1...ann*0an1...anna11...a1n这里升阶是为了降价，在*处加上所需要的数，就可以简化行列式的计算，用此法时要注意行列式阶数的变化。

1?a1111?a21...111...1.........111... 例6 计算n（n≥2）阶行列式Dn=

1...11?a3...，其中a1a2...an?0

...1?an 解：先将D n添上一行一列，变成下面的n+1阶行列式：

111...111...1.........111..,显然Dn+1=Dn ...01?a1 Dn+1=0...01?a2......1?an1将上式第1行乘以-1加到第i行；第i行乘以-加到第1行（i=2，?，n）；

ai

６

按第一行展开得Dn+1=（1+?i?1

n1)a1a2...an ai注：找出每行或每列相同的因子是加边法最大的特点，这样升阶之后，我们就可以利用行列式的性质把绝大部分的元素化为零，然后再化为三角形行列式，这样就达到了简化计算的目的。当然，有时加边后的行列式的值不一定就等于原行列式的值，不过会与原行列式的值存在一个关系。例如有原行列式Dn，Dn行列式如果直接求值的话，不容易求，加边后的行列式为Dn+1，很容易求得Dn+1的值，两者有比较明确的关系，ADn+BDn+1=C，则可利用这个关系求出行列式Dn的值，这种解法也是同样适用于加边法的。

2.6 递推法

递推法也是一种常用的行列式计算方法。递推方法计算行列式是将已知的行列式按行（列）展开成较低阶的同类型的行列式（同类型行列式是指阶数不同，但结构相同的行列式），再找出Dn与Dn-1或Dn与Dn-1、Dn-2（其中Dn、Dn-1、Dn-2结构一定要相同）之间的递推关系，然后利用这个递推公式求出行列式的值。

例7 计算行列式

a?b10aba?b10...000aba?b1...0000aba?b...00...............0000...1...a?b0000...aba?b Dn=0...00

解:将Dn按第一行展开,得

７

100aba?b10...000aba?b1...0000ab...00...............0000...10000...aba?b(n?1)阶Dn = ( a + b)Dn- 1 - ab0...00a?b...

...a?b= ( a + b)Dn- 1 - abDn- 2.

把上式改写成 Dn - aD n- 1 = b(Dn - 1 - aDn- 2 ) 利用上述递推关系,递推得到 Dn - aDn- 1 = b (Dn- 1 - aDn- 2 ) = b2(Dn- 2 - aDn-3 ) = bn- 2(D2 - aD 1 ). 而D1 = a + b, D2 =

a?b1aba?b=a2+ab+b2,

将它们代入上式, 得Dn - aDn- 1 = bn, 即Dn = aDn-1 + bn 再由此递推关系得 Dn = aDn- 1+ bn = a(aDn- 2 + b）+ b =a2Dn- 2 +abn-1+bn =??

=an+an-1b+...+abn-1+bn

n-1

n

=

2.7 数学归纳法

数学归纳法来计算行列式，一般来说是利用不完全归纳法先寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出对猜想的证明。因为对于给定的一个行列式，要猜想其值是比较困难的事情，所以有时是先给定其值，然后再去证明一个与自然数n有关的命题。数学归纳法分为第一、第二数学归纳法。

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