二次函数图形与性质及其综合应用

始于1989 ★★★★★ 五星级名校冲刺第一品牌 题型八：综合压轴题

31. 已知，抛物线y1?ax2?2ax?b经过A(-1，0)，C(2，)两点，与x轴交于另一点B．

2（1）求此抛物线的解析式；

（2）若抛物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点 （不与点B重合），点Q在线段MB上移动，且∠MPQ=45°，设线段OP=x，MQ=

2y2，求y2与x的函数关系式， 2yM并直接写出自变量x的取值范围． Q ABOP

2. 已知抛物线y?ax2?bx?c的对称轴为直线x?2，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其

中A(1，0)，C(0，-3). （1）求抛物线的解析式；

（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A），

①如图1，当△PBC的面积与△ABC的面积相等时，求点P的坐标； ②如图2，当∠PCB =∠BCA时，求直线CP的解析式．

yy

P

AABB OOxx P C C 图1 图2

3、如图，抛物线y=ax﹣2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．

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2

x

始于1989 ★★★★★ 五星级名校冲刺第一品牌 （1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；

（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．

4、如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D． （1）求抛物线的解析式；

（2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的坐标； （3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值．

2

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高分秘籍—过手训练 2.（2013年河南省4分）在二次函数y??x?2x?1的图像中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（ ）（A）x?1 （B）x?1 （C）x??1 （D）x??1 3.（2013年上海市4分）如果将抛物线y?x2?2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ）

2（A）y??x?1??2 （B）y??x?1??2 （C）y?x2?1 （D）y?x2?3

5.（ 2013年广西河池3分）已知二次函数y??x2?3x?，当自变量x取m对应的函数值大于0，设自变量分别取m－3，m＋3 时对应的函数值为y1，y2，则（ ）

A．y1＞0，y2＞0 B．y1＞0，y2＜0 C．y1＜0，y2＞0 D．y1＜0，y2＜0 8.（2013年湖南株洲3分）二次函数y?2x2?mx?8的图象如图所示，则m的值是（ ） A．－8 B．8 C．±8 D．6

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9.抛物线y=ax+bx+c（a≠0）经过点（1，2）和（﹣1，﹣6）两点，则a+c= ．

2

10.若函数y=mx+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是 ．

2

11.（2013年四川广安3分）已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1．下列结论：

2

①abc＞0，②2a+b=O，③b﹣4ac＜0，④4a+2b+c＞0其中正确的是（ ） A．①③ B．只有② C．②④ D．③④

2

12.（2013年辽宁大连3分）如图，抛物线y?x2?bx?9与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的2直线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为 ．

突飞猛进—实际应用 1. （2013?潜江）2013年5月26日，中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军，成就了首个五连冠霸业．比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线（如图）．若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系y??22810x?x?，则羽毛球飞出的水平距离为 999米．

3.（2013?衢州）某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子。根据经验估计，每多种一颗树，

平均每棵树就会少结5个橘子。设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种 棵橘子树，橘子总个数最多。

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始于1989 ★★★★★ 五星级名校冲刺第一品牌 4．（2012?济南）如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需 秒．

5.（2013?兰州）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动

过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为

S S S S A P B O t O t O t t O A B C 第1题图 D 6．（2011?北京）如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，D是AB边上的一个动点（不与点A、B重合），过点D作CD的垂线交射线CA于点E．设AD=x，CE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系图象大致是（ ）

A、 B、 C、 D、

227、二次函数y?ax?bx的图象如图，若一元二次方程ax?bx?m?0有实数根，则m的最大值为

（ ）

A.-3 B.3 C.-5 D.9

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