2018届高考数学一模试卷(理科)

（2分） 又

两式相减得

，

即h1h2==﹣，…（…

（Ⅱ）设直线MN与x轴相交于点R（r，0），s△MNL=×|r﹣3|?|yM﹣yN|

=

|

．

，得

由于△M1N1L与△MNL面积之比为5且|yM﹣yN|=|

=5

，r=4（舍去）或r=2．…（8分）

即直线MN经过点F（2，0）．设M（x1，y1），N（x2，y2），K（x0，y0） ①当直线MN垂直于x轴时，弦MN中点为F（2，0）；…（9分） ②当直线MN与x轴不垂直时，设MN的方程为y=k（x﹣2），则 联立

．?（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48=0

．…（10分）

x0=．

消去k，整理得（x0﹣1）2+

=1（y0≠0）．

综上所述，点K的轨迹方程为（x﹣1）2+

=1（x＞0）．…（12分）

【点评】本题考查了轨迹方程的求法，及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．

21．（12分）（2018?石家庄二模）已知函数f（x）=mln（x+1），g（x）=（x＞﹣1）．

（Ⅰ）讨论函数F（x）=f（x）﹣g（x）在（﹣1，+∞）上的单调性；

（Ⅱ）若y=f（x）与y=g（x）的图象有且仅有一条公切线，试求实数m的值．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）求得F（x）的导数，讨论当m≤0时，当m＞0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意定义域；

（Ⅱ）分别求出f（x），g（x）在切点处的斜率和切线方程，化为斜截式，可得y=f（x）与y=g（x）的图象有且仅有一条公切线等价为（a+1）﹣

=

=

（1），mln

（2），有唯一一对（a，b）满足这个方程组，且m＞0，

消去a，得到b的方程，构造函数，求出导数和单调性，得到最值，即可得到a=b=0，公切线方程为y=x．

【解答】解：（Ⅰ）F′（x）=f′（x）﹣g′（x） =

﹣

=

（x＞﹣1），

当m≤0时，F′（x）＜0，函数F（x）在（﹣1，+∞）上单调递减；…（2分） 当m＞0时，令F′（x）＜0，可得x＜﹣1+，函数F（x）在（﹣1，﹣1+）上单调递减；

F′（x）＞0，可得＞﹣1+，函数F（x）在（﹣1+，+∞）上单调递增． 综上所述，当m≤0时，F（x）的减区间是（﹣1，+∞）； 当m＞0时，F（x）的减区间是（﹣1，﹣1+）， 增区间是（﹣1+，+∞）…（4分）

（Ⅱ）函数f（x）=mln（x+1）在点（a，mln（a+1））处的切线方程为y﹣mln（a+1）=即y=

（x﹣a）， x+mln（a+1）﹣

在点（b，

．

，

）处的切线方程为y﹣

=

（x﹣b），

函数g（x）=即y=

x+

y=f（x）与y=g（x）的图象有且仅有一条公切线 所以

=

（1），mln（a+1）﹣

=

（2），

有唯一一对（a，b）满足这个方程组，且m＞0…（6分） 由（1）得：a+1=m（b+1）2代入（2）消去a，整理得： 2mln（b+1）+

+mlnm﹣m﹣1=0，关于b（b＞﹣1）的方程有唯一解…（8分）

令t（b）=2mln（b+1）+t′（b）=

﹣

=

+mlnm﹣m﹣1，

，

方程组有解时，m＞0，所以t（b）在（﹣1，﹣1+）单调递减，在（﹣1+，+∞）上单调递增．

所以t（b）min=t（（﹣1+）=m﹣mlnm﹣1． 由b→+∞，t（b）→+∞；b→﹣1，t（b）→+∞， 只需m﹣mlnm﹣1=0…（10分）

令u（m）=m﹣mlnm﹣1，u′（m）=﹣lnm在m＞0为单减函数， 且m=1时，u′（m）=0，即u（m）min=u（1）=0， 所以m=1时，关于b的方程2mln（b+1）+此时a=b=0，公切线方程为y=x…（12分）

【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、极值和最值，考查分类

讨论和转化思想的运用，以及构造函数法，考查化简整理的运算能力，属于难题．

+mlnm﹣m﹣1=0有唯一解．

[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]

22．（10分）（2018?石家庄二模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

（a＞0，β为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建

）=．

立极坐标系，直线l的极坐标方程ρcos（θ﹣

（Ⅰ）若曲线C与l只有一个公共点，求a的值； （Ⅱ）A，B为曲线C上的两点，且∠AOB=

，求△OAB的面积最大值．

【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．

【分析】（Ⅰ）根据sin2β+cos2β=1消去β为参数可得曲线C的普通方程，根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，直线l的极坐标方程化为普通方程，曲线C与l只

有一个公共点，即圆心到直线的距离等于半径，可得a的值． （Ⅱ）利用极坐标方程的几何意义求解即可．

【解答】（Ⅰ）曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆； 直线l的直角坐标方程为

由直线l与圆C只有一个公共点，则可得解得：a=﹣3（舍）或a=1 所以：a=1．

（Ⅱ）由题意，曲线C的极坐标方程为ρ=2acosθ（a＞0） 设A的极角为θ，B的极角为则=∵cos所以当

时，

．

：

=

=

取得最大值

∴△OAB的面积最大值为

解法二：因为曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆，且由正弦定理得：

，所以|AB=

由余弦定理得：|AB2=3a2=|0A|2+|OB|2﹣|OA||OB|≥|OA||OB| 则：

≤×

=

．

∴△OAB的面积最大值为．

【点评】本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及应用，属于中档题

[选修4-5：不等式选讲]