2018届高考数学一模试卷(理科)

∴DB=OBsin∠BOC=

，

∴B点坐标为：（﹣故答案为：（﹣

，

×=，OD=OBcos∠BOC=×（﹣）=﹣

，）．

）．

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：把点旋转的问题转化为直角三角形旋转的问题，根据直角三角形的性质确定点的坐标．也考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．

15．设二面角α﹣CD﹣β的大小为45°，A点在平面α内，B点在CD上，且∠ABC=45°，则AB与平面β所成角的大小为 30° ． 【考点】直线与平面所成的角．

【分析】先根据题意画出相应的图形，然后找出AB与面β的所成角，在直角三角形ABD中进行求解即可．

【解答】解：根据题意先画出图形作AD⊥β交面β于D， 由题意可知∠ABC=45°，∠ACD=45°， 设AD=1，则CD=1，AC=

，BC=

，AB=2，

而AD=1，三角形ABD为直角三角形， ∴∠ABD=30°． 故答案为：30°．

【点评】本题主要考查了直线与平面所成角的度量，解题的关键是通过题意画出相应的图形，属于中档题．

16．非零向量，的夹角为

，且满足||=λ||（λ＞0），向量组

，

，

，

，

由一个和两个排列而成，向量组?

+

?

+

?

由两个和一个排列而成，若

．

所有可能值中的最小值为42，则λ=

【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．

【分析】列出向量组的所有排列，计算所有可能的值，根据最小值列出不等式组解出． 【解答】解：向量组向量组∴3∵

?=?

+

?

=||×λ||×cos

=

2

，

=λ22，

），（），（，

+

+

=（λ2+λ+1）

）， ），

，，共有3种情况，即（，，），（，，共有3种情况，即（+

?

+， +

?

所有可能值中的最小值为42， ?

），（

所有可能值有2种情况，即，

∴或．

解得λ=． 故答案为．

【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．

三、解答题（本题共6题，70分）

17．（12分）（2018?晋中一模）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm﹣1=﹣4，Sm=0，Sm+2=14（m≥2，且m∈N*）． （1）求m的值； （2）若数列{bn}满足

=logabn（n∈N*），求数列{（an+6）?bn}的前n项和．

【考点】数列的求和；等差数列的性质．

【分析】（1）计算am，am+1+am+2，利用等差数列的性质计算公差d，再代入求和公式计算m；

（2）求出an，bn，得出数列{（an+6）?bn}的通项公式，利用错位相减法计算． 【解答】解：（1）∵Sm﹣1=﹣4，Sm=0，Sm+2=14， ∴am=Sm﹣Sm﹣1=4，am+1+am+2=Sm+2﹣Sm=14． 设{an}的公差为d，则2am+3d=14，∴d=2． ∵Sm=

=0，∴a1=﹣am=﹣4．

∴am=a1+（m﹣1）d=﹣4+2（m﹣1）=4， ∴m=5．

（2）由（1）可得an=﹣4+2（n﹣1）=2n﹣6． ∵

=logabn，即n﹣3=logabn，

∴bn=an﹣3，

∴（an+6）?bn=2n?an﹣3，

设数列{（an+6）?bn}的前n项和为Tn， 则Tn=2?a﹣2+4?a﹣1+6?a0+8?a+…+2n?an﹣3，① ∴aTn=2?a﹣1+4?a0+6?a+8?a2+…+2n?an﹣2，② ①﹣②得：

（1﹣a）Tn=2a﹣2+2a﹣1+2a0+2a+…+2an﹣3﹣2n?an﹣2， ==

﹣

﹣2n?an﹣2

，

∴Tn=﹣．

【点评】本题考查了等差数列，等比数列的性质，数列求和，属于中档题．

18．（12分）（2018?石家庄二模）如图，三棱柱ABC﹣DEF中，侧面ABED是边长为2的菱形，且∠ABE=

，BC=

，四棱锥F﹣ABED的体积为2，

点F在平面ABED内的正投影为G，且G在AE上，点M是在线段CF上，且CM=CF．

（Ⅰ）证明：直线GM∥平面DEF； （Ⅱ）求二面角M﹣AB﹣F的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．

【分析】（Ⅰ）由四棱锥锥F﹣ABED的体积为2求出FG，进一步求得EG，可得点G是靠近点A的四等分点．过点G作GK∥AD交DE于点K，可得GK=

．又MF=

，得到MF=GK且MF∥GK．则四边形MFKG为平

行四边形，从而得到GM∥FK，进一步得到直线GM∥平面DEF；

（Ⅱ）设AE、BD的交点为O，OB所在直线为x轴，OE所在直线为y轴，点O作平面ABED的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面ABM，ABF的法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角M﹣AB﹣F的余弦值． 【解答】（Ⅰ）证明：∵四棱锥锥F﹣ABED的体积为2， 即VF﹣ABCD=又BC=EF=

，∴FG=

．

，∴EG=，即点G是靠近点A的四等分点．