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3.1 退化模型

图像恢复处理的关键问题在于建立退化模型，我们知道一幅静止的、单色的二维图像可以用数学表达式F?f(x,y)表示。基于这个表达式，可以建立退化模型如图3-1所示[22,23]。

f(x,y)

n(x,y) H 图3-1 退化模型

g(x,y)

由图3-1的模型可以知道，一幅纯净的图像f(x,y)是由于通过了一个系统H以及加性噪声n(x,y)的作用而使其退化为一幅图像g(x,y)的。

图像恢复可以看成是一个估计过程。如果已经给出了退化图像g(x,y)并估计出系统参数H，从而可以近似地恢复原图像f(x,y)。这里n(x,y)是一种统计性质的信息。

3.1.1 H系统定义

根据图像的退化模型和恢复的基本过程可知，恢复处理的关键在于对系统H的基本了解。就一般而言，系统是某些元件或部件以某种方式构造而成的整体。系统本身所具有的某些特性就构成了通过系统的输入信号与输出信号的某种联系。

系统的分类方法有很多。例如，系统可以分为线性系统和非线性系统；时变系统和非时变系统；集中参数系统和分布参数系统；连续系统和离散系统等等。

线性系统是指具有均匀性和相加性的系统。 对于图3-1所示的退化模型来说，可以表示成下式：

g(x,y)?H??f(x,y)??n(x,y) (3.1) 如果暂时不考虑加性噪声n(x,y)的影响，即令n(x,y)?0则有：

g(x,y)?H??f(x,y)? (3.2)

如果输入信号为f1(x,y)，f2(x,y)，对应的输出信号为g1(x,y)，g2(x,y)，通过系统后有下式成立：

H??k1f1(x,y)?k2f2(x,y)? (3.3)

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?H??k1f1(x,y)??H??k2f2(x,y)? ?k1g1(x,y)?k2g2(x,y)

那么，系统H是一个线性系统。其中k1 、k2为一常数。式3.3说明，如果H为线性系统，则两个输入之和的响应等于两个响应之和。显然，线性系统的特性为求解多个激励情况下的输入响应带来很大的方便。

如果一个系统的参数不随时间变化，即称为时不变系统或非时变系统。否则，就称为时变系统。与此概念相对应，对于二维函数来说，如果

H??f(x??,y??)??g(x??,y??) (3.4) 则H是空间不变系统，式中的?和?分别是空间位置的位移量。这说明了图像中任一点通过空间不变系统的响应只取决于在该点的输入值，而于该点的位置无关。

由上述基本定义可知，如果系统H有式3.3和式3.4的关系，那么，系统就是线性的和空间位置不变的系统。在图像恢复处理中，尽管非线性和空间变化的系统模型更具有普遍性和准确性，但是它却给处理工作带来了巨大的困难，它常常没有解或者很难用计算机来处理。因此，在图像恢复处理中，往往用线性和空间不变性的系统模型加以近似。这种近似的优点是使线性系统理论中的许多理论可以直接用于解决图像恢复问题，所以图像恢复处理特别是数字图像恢复处理主要采用线性的、空间不变的恢复技术。

3.1.2 连续退化模型

根据信号与系统的知识可以定义二维冲激函数?(x,y)，其时域表达式为： ?????????(x,y)dxd?y1

(3.5) ?(x,y)?0 x?y?0

如果冲激信号?(x,y)有一个(?,?)的延迟，那么

?????????(x??,y??)dxd?y1

(3.6) ?(x??,y??)?0 x???y???0 且二维冲激信号具有如下性质： (1) 抽样特性

g(x,y)?(x??,y??)?g(?,?)?(x??,y??) (3.7)

(2) 位移特性

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g(x,y)??(x??,y??)?g(x??,y??) (3.8)

显然可以把f(x,y)写成如下形式： f(x,y)?????????f(?,?)?(x??,y??)d?d? (3.9)

根据g(x,y)?H??f(x,y)??n(x,y)的关系，如果令n(x,y)?0，则有下式成立： g(x,y)?H??f(x,y)? (3.10)

?????H????f(?,?)?(x??,y??)d?d??

????????由于H是线性算子，所以

g(x,y)?H??f(x,y)? (3.11)

???? ?H????f(?,?)?(x??,y??)d?d??

???????? ???????????????H??f(?,?)?(x??,y??)?d?d?

f(?,?)H???(x??,y??)?d?d? (3.12)

??则：

?????令h(x,?,y,?)?H???(x??,y??)?

???? g(x,y)???????f(?,?)h(x,?,y,?)d?d? (3.13)

其中h(x,?,y,?)就是系统H的冲激响应。也就是说，h(x,?,y,?)是系统H对坐标为(?,?)处的冲激函数?(x??,y??)的响应。因为在光学中，冲激为一个光点，所以h(x,?,y,?)又称为点扩散函数(PSF)。

在空间位置不变的情况下有：

H???(x??,y??)??h(x??,y??)

则式3.12可以表示成： g(x,y)???????????????f(?,?)h(x??,y??)d?d? (3.14)

在有加性噪声的情况下，前述的线性退化模型可以表示为： g(x,y)???????f(?,?)h(x??,y??)d?d??n(x,y) (3.15)

式3.15就是图像退化的连续函数退化模型。

3.1.3 离散退化模型

连续函数的退化模型是由输入函数和点扩展函数相乘后再积分来表示的。如

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果把输入函数和点扩展函数进行均匀采样后就可以引申出离散的退化模型。

假设输入函数f(x,y)经采样后变成A×B大小的矩阵，点扩展函数h(x,y)经采样后变成C×D大小的矩阵。如果f(x,y)和h(x,y)均不具备周期性，可以用延拓的方法使其变成周期函数，即：

f(x,y) 0?x?A?1 0?y?B?1

fe(x,y)=

0 A?x?M?1 B?y?N?1

h(x,y) 0?x?C?1 0?y?D?1

(3.16) he(x,y) = 0 C?x?M?1 C?x?N?1

(3.17) 这样拓展后fe(x,y)和he(x,y)分别成为二维周期函数，它们在x和y方向上的周期分别为M和N。由此连续函数退化模型中的连续卷积关系就演变为离散卷积关系，相应的二维退化模型演变成如下的离散形式：

ge(x,y)???fe(m,n)he(x?m,y?n) (3.18)

m?0n?0M?1N?1其中x?0,1,2,?,M?1 ；y?0,1,2,?,N?1。卷积函数ge(x,y)也为周期函数，其周期与fe(x,y)和he(x,y)一样。为避免重叠，规定：

M?A?C?1 N?B?D?1

如果用矩阵来表示上述离散退化模型，可以写成如下形式：

?g???H??f? (3.19) 其中

?f(0,0)?f(1,0) ?f???????f(N?1,0)f(0,1)f(1,1)?f(N?1,1)f(0,3)?f(0,M?1)?f(1,2)?f(1,M?1)?? (3.20)

?????f(N?1,2)?f(N?1,M?1)?g(0,1)g(0,3)?g(0,M?1)??g(0,0)?g(1,0)?g(1,1)g(1,2)?g(1,M?1)? (3.21) ?g????????????g(N?1,0)g(N?1,1)g(N?1,2)?g(N?1,M?1)??16