【人教版】2020届高考数学专题十七圆锥曲线的几何性质精准培优专练理

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8．已知F是抛物线C:y?2x2的焦点，N是x轴上一点，线段FN与抛物线C相交于点M， 若2FM?MN，则FN?（ ） A．1 B．12

C．52

D．58

【答案】D

【解析】由题意得点F的坐标为??1??0,8??，设点M的坐标?x0,y0?，点N的坐标?a,0?，

所以向量：FM???1??x0,y0?8??，MN??a?x0,?y0?，

由向量线性关系可得：3x10?a，2y0?4??y10，解得：y0?12， 代入抛物线方程可得：x660??12，则a??4， 由两点之间的距离公式可得：FN?58．故选D．

x2y2x2．已知椭圆Cy291:a2?2?1?a1?b1?0?与双曲线C2:a2?2?1?a2?0,b2?0?有相同的焦点F1，F2，

1b12b2点P是曲线C，e21与C2的一个公共点，e12分别是C1和C2的离心率，若PF1?PF2，则4e21?e2的最小值为（ A．92

B．4

C．52

D．9

【答案】A

【解析】由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2， 令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义PF1?PF2?2a2，① 由椭圆定义PF1?PF2?2a1，②

又∵PF221?PF2，∴PF21?PF2?4c，③ ①2?②2，得PF22221?PF2?4a1?4a2，④

将④代入③，得a221?a2?2c2， ∴4e221?e2?4c2c252a22a?a21?5?2?92?2??2，故选A．1a2a2

212a22210．已知F为抛物线C:y2?4x的焦点，A，B，C为抛物线C上三点，当FA?FB?FC?0时，

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）

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称△ABC为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（ ） A．0个 【答案】D

【解析】抛物线方程为y2?4x，A，B，C为曲线C上三点， 当FA?FB?FC?0时，F为△ABC的重心，

用如下办法构造△ABC，连接AF并延长至D，使FD?1AF， 2B．1个 C．3个 D．无数个

当D在抛物线内部时，设D?x0,y0?，若存在以D为中点的弦BC， 设B?m1,n1?，C?m2,n2?， 则m1?m2?2x0，n1?n2?2y0，

n1?n2?kBC，

m1?m22?n?n?n1?4m1则?，两式相减化为?n1?n2?12?4，

2m1?m2??n2?4m2kBC?n1?n22?，所以总存在以D为中点的弦BC，所以这样的三角形有无数个，故选D．

m1?m2y0x2y2x2y211．已知双曲线?1:2?2?1?a?0,b?0?的左右焦点分别为F1，F2，椭圆?2:?直线MN?1的离心率为e，

34ab过点F2与双曲线交于M，N两点，若cos?F1MN?cos?F1F2M，且分别为（ ） A．30?，150? 【答案】C 【解析】

B．45?，135?

C．60?，120?

D．15?，165? F1MF1N?e，则双曲线?1的两条渐近线的倾斜角

由题cos?F1MN?cos?F1F2M，??F1MN??F1F2M，?MF1?F1F2?2c，

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由双曲线的定义可得| MF2?MF1|?2a?2c?2a，

F1M1x2y24?31＝e?，?NF1?4c，NF2?4c?2a， ∵椭圆?2:?的离心率为：，∴e???1F1N22234在△MF1F2中，由余弦定理的cos?F1F2M?4c2??2c?2a??4c22?2c??2c?2a?22?c?a， 2ca2?c2?4ac， ?2c?2c?a?在△NF1F2中，由余弦定理可得：cos?F1F2N?4c2??4c?2a??16c22?2c??4c?2a?c?aa2?c2?4ac??0， ∵?F1F2M??F1F2N?π，?cos?F1F2M?cos?F1F2N?0，即2c2c?2c?a?整理得，

1设双曲线的离心率为e1，?3e12?7e1?2?0，解得e1?2或（舍）．

3a2?b2b22?3a?b?4∴，，即?3．∴双曲线的渐近线方程为y??3x， 2aa∴渐近线的倾斜角为60?，120?．故选C．

x2y2212．已知P为椭圆??1上一个动点，过点P作圆?x?1??y2?1的两条切线，切点分别是A，B，则PA?PB43的取值范围为（ ）

?3?A．?,???

?2?【答案】C

?356?B．?,?

?29?56??C．?22?3,?

9??D．?22?3,??

??【解析】如图，由题意设?APB?2?，则PA?PB?1， tan?

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∴PA?PB?PAPBcos2??11?cos2??cos2???cos2?，

1?cos2?tan2???1?t??22?3?2?1?t???3?22?3， 1?t1?t设cos2??t，则PA?PB?t?1?t?1?t当且仅当1?t?2，即t?1?2时等号成立，此时cos2??1?2． 1?t17又当点P在椭圆的右顶点时，sin??，∴cos2??1?2sin2??，

3979?7?56． 此时PA?PB最大，且最大值

7991?91?56??∴PA?PB的取值范围是?22?3,?，故选C．

9??

二、填空题

13．已知过抛物线y2??2x的焦点F，且斜率为3的直线与抛物线交于A、B两点，则1【答案】

2AF?BFAB?__________．

【解析】由y2??2x知p?1，由焦点弦性质

AF?BFABAF?BFAF+BF111+AFBF112+??2， AFBFp而

???p1?． 22x214．已知椭圆2?y2?1的左、右焦点为F1、F2，点F1关于直线y??x的对称点P仍在椭圆上，

a

则△PF1F2的周长为__________． 【答案】22?2

【解析】设F1??c,0?，F2?c,0??c?0?，

F1关于直线y??x的对称点P坐标为?0,c?，

点P在椭圆上，则：

0?c2?1，则c?b?1，a2?b2?c2?2，则a?2， 2a故△PF1F2的周长为：PF1?PF2?F1F2?2a?2c?22?2．

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