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【点评】本题考查球面距里的计算，基础题．

15．（5分）“﹣3＜a＜1”是“存在x∈R，使得|x﹣a|+|x+1|＜2”的（ ） A．充分非必要条件 C．充要条件

B．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件

【分析】根据绝对值不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：根据绝对值不等式的性质得|x﹣a|+|x+1|≥|x﹣a﹣x﹣1|＝|a+1|， 即|x﹣a|+|x+1|的最小值为|a+1|， 若“存在x∈R，使得|x﹣a|+|x+1|＜2”， 则|a+1|＜2，即﹣2＜a+1＜2， 得﹣3＜a＜1，

即“﹣3＜a＜1”是“存在x∈R，使得|x﹣a|+|x+1|＜2”的充要条件， 故选：C．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合绝对值不等式的性质是解决本题的关键．

16．（5分）已知函数f（x）＝ax+bx+c，且a＞b＞c，a+b+c＝0，集合A＝{m|f（m）＜0}，则（ ）

A．任意m∈A，都有f（m+3）＞0 C．存在m∈A，都有f（m+3）＝0

B．任意m∈A，都有f（m+3）＜0 D．存在m∈A，都有f（m+3）＜0

2

【分析】由题意可得 a＞0，且c＜0，﹣2＜＜﹣，x＝1为f（x）的一个零点，再由根与系数的关系可得，另一零点为．可得A＝{m|＜m＜1}，m+3＞1，有f（m+3）＞0恒成立，从而得出结论．

【解答】解：∵函数f（x）＝ax+bx+c，且a＞b＞c，a+b+c＝0，故有 a＞0，且c＜0．

2

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∴0＜a+a+c＝2a+c，即 ﹣，

＞﹣2，且 0＞a+c+c＝a+2c，即＜﹣，因此有﹣2＜＜

又f（1）＝a+b+c＝0，故x＝1为f（x）的一个零点． 由根与系数的关系可得，另一零点为

＜0，所以有：A＝{m|＜m＜1}．

所以，m+3＞+3＞1，所以有f（m+3）＞0恒成立， 故选：A．

【点评】本题主要考查二次函数的性质，一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化的数学思想，属于中档题． 三、解答题（共5小题，满分76分）

17．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD为平行四边形，若∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝1． （1）求证：PA⊥BD；

（2）若∠PCD＝45°，求点D到平面PBC的距离h．

【分析】（1）利用勾股定理逆定理证明AD⊥BD，结合BD⊥PD得出BD⊥平面PAD，故而PA⊥BD；

（2）根据VP﹣BCD＝VD﹣BCP列方程解出h．

【解答】（1）证明：∵AD＝1，AB＝2，∠DAB＝60°， ∴BD＝AB+AD﹣2AB?AD?cos60°＝3， ∴AD+BD＝AB， ∴AD⊥BD，

∵PD⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， ∴PD⊥BD，又AD∩PD＝D， ∴BD⊥平面PAD，

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2

2

2

2

2

2

∵PA?平面PAD， ∴BD⊥PA．

（2）解：由（1）可知BC⊥BD， ∴S△BCD＝

＝

，

∵∠PCD＝45°，∴PD＝CD＝2， ∴VP﹣BCD＝∵PC＝

2

＝，PB＝

．

＝

，BC＝1，

CD＝2

2

2

∴BC+PB＝PC，∴PB⊥BC， ∴S△BCP＝∴VD﹣BCP＝

又VP﹣BCD＝VD﹣BCP，∴解得h＝

．

＝

， ＝

＝， ，

【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题． 18．（14分）已知函数f（x）＝（1）求函数y＝f（x）在[0，

sinx+sinxcosx﹣

2

]上的单调递增区间；

个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长

（2）将函数y＝f（x）的图象向左平移

到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，求证：存在无穷多个互不相同的整数x0，使得g（x0）＞

．

【分析】（1）化简三角函数式，利用正弦函数的单调性求单调区间； （2）利用三角函数图象的变换规律得到函数y＝g（x），然后证明． 【解答】解：（1）f（x）＝

sinx+sinxcosx﹣

）；

≤x≤kπ

，k∈Z， ]；

2

＝＝

＝sin（2x﹣

因为2kπ≤2x﹣

≤2kπ

，∴kπ

所以函数y＝f（x）在[0，]上的单调递增区间为[0，

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（2）将函数向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵

．即sinx＞

，

坐标不变），得到函数y＝g（x）＝sinx，g（x0）＞所以2kπ则（2kπ2kπ

＜x＜2kπ）﹣（2k），k∈Z，

，k∈Z， ）＝

＞1，所以对任意的整数k都存在x0∈（2kπ，

即存在无穷多个互不相同的整数x0，使得g（x0）＞

．

【点评】本题看错了三角函数的化简以及三角函数的性质、图象变换；属于中档题． 19．（14分）如图，已知直线l：x+

y﹣c＝0（c＞0）为公海与领海的分界线，一艘巡逻艇

在O处发现了北偏东60°海面上A处有一艘走私船，走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮B航行，以使上海轮后逃窜．已知巡逻艇的航速是走私船航速的2倍，且两者都是沿直线航行，但走私船可能向任一方向逃窜．

（1）如果走私船和巡逻船相距6海里，求走私船能被截获的点的轨迹；

（2）若O与公海的最近距离20海里，要保证在领海内捕获走私船（即不能截获走私船的区域与公海不想交）．则O，A之间的最远距离是多少海里？

【分析】（1）设截获点为P（x，y），根据|OP|＝2|AP|列方程化简即可；

（2）设|OA|＝t，求出截获点轨迹方程，根据直线与圆不相交列不等式得出t的范围即可得出|OA|的最大值．

【解答】解：（1）由题意知点A（3则|OP|＝2|AP|， 即

＝2

，整理得：（x﹣4

）+（y﹣4）＝16．

2

2

，3），设走私船能被截获的点为P（x，y），

∴走私船能被截获的点的轨迹是以（4，4）为圆心，以4为半径的圆．

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