2020年北京市昌平区高考数学二模试卷(理)含答案解析

①由a1=a【分析】（0＜a≤1），an+1=

（n∈N*），可得a2=﹣a+．对

a分类讨论：当时，当时，即可得出．

②a1=a（0＜a≤1），an+1=

（n∈N*），a2=﹣a1+=﹣a+．对a分类

讨论：当

时，可得：an+2=an．当时，可得an+4=an．即可得出．

【解答】解：①∵a1=a（0＜a≤1），an+1=

（n∈N*），

∴a2=﹣a1+=﹣a+． 当当∴a=．

时，a3=﹣a2+=a=，舍去；

时，a3=a2﹣1=﹣a+=，解得a=，满足条件．

②a1=a（0＜a≤1），an+1=

（n∈N*），

∴a2=﹣a1+=﹣a+． 当

时，a3=﹣a2+=a，∴a4=﹣a2+=﹣a，∴an+2=an．

S2020=（a1+a2）×1008=1512． 当

时，a3=a2﹣1=﹣a+

=﹣a+

，

∴a4=﹣a3+=﹣+=a+1＞1，∴a5=a4﹣1=a．

∴an+4=an．

∴S2020=（a1+a2+a3+a4）×504=3×504=1512． 综上可得：S2020=1512． 故答案分别为：；1512．

三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

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15．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜（Ⅰ）写出函数f（x）的解析式及x0的值； （Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣

，

）的部分图象如图所示．

]上的最大值与最小值．

【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的最值． 【分析】（I）由函数图象可知A，T=π，利用周期公式可求ω，又函数过点（结合范围|φ|＜解得x0=kπ﹣（II）由x∈[﹣

，解得φ，可求函数解析式，由函数图象可得2sin（2x0+，k∈Z，又结合范围，

]，可求范围2x+

﹣

＜x0＜

，

）=

，2），，可

，从而可求x0的值． ]，利用正弦函数的图象和性

∈[﹣

质即可求其最值． 【解答】（本小题满分13分）

解：（I）∵A＞0，ω＞0，由函数图象可知，A=2，T=又∵函数过点（k∈Z， 又|φ|＜

，

，

），

）=

，解得：2x0+

=2kπ+

，k∈Z，可得：x0=kπ

，2），可得：2=2sin（2×

=2[x0﹣（x0﹣+φ），解得：2×

）]=π，解得ω=2，+φ=2kπ+

，

∴可得：φ=

∴f（x）=2sin（2x+

∵由函数图象可得：2sin（2x0+﹣又∵

，k∈Z，

﹣

＜x0＜

，

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∴x0=，…

，

]，可得：2x+

∈[﹣

，

]，… ）=﹣1，

（II）由x∈[﹣当2x+当2x+

=﹣=

时，即x=﹣时，即x=

，f（x）min=f（﹣

，f（x）max=f（）=2． …

16．为了解高一新生数学基础，甲、乙两校对高一新生进行了数学测试．现从两校各随机抽取10名新生的成绩作为样本，他们的测试成绩的茎叶图如下：

（1）比较甲、乙两校新生的数学测试样本成绩的平均值及方差的大小；（只需要写出结论）

（2）如果将数学基础采用A、B、C等级制，各等级对应的测试成绩标准如表：（满分100分，所有学生成绩均在60分以上） 测试成绩 [85，100] [70，85） （60，70）

A B C 基础等级

假设每个新生的测试成绩互相独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的

概率．

从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，求甲校新生的数学基础等级高于乙校新生的数学基础等级的概率．

【考点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式． 【分析】（1）利用均值与方差的定义分别求出甲、乙两校新生的数学成绩的均值与方差，从而得出结论．

（2）分类讨论，求得甲校新生的数学基础等级高于乙校新生的数学基础等级的概率． 【解答】解：（1）两校新生的数学测试样本成绩的平均值相同；

甲校新生的数学测试样本成绩的方差小于乙校新生的数学测试样本成绩的方差．

（2）设事件D=“从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，甲校新生的数学基础等级高于乙校新生的数学基础等级”．

设事件E1=“从甲校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为A”，P（E1）=， 设事件E2=“从甲校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为B”，P（E2）=设事件F1=“从乙校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为B”，P（F1）=设事件F2=“从乙校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为C”，P（F2）=

， ， ，

根据题意，D=E1F1∪E1F2∪E2F2，所以P（D）=P（=E1F1 ）+P（E1F2）+P（E2F2 ）

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=++?=，

因此，从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，甲校新生的数学基础等级高于乙校新生 的数学基础等级的概率为

．

17．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC垂直于正方形A1ACC1所在平面，AC=2，BC=1，D为AC中点，E为线段BC1上的一点（端点除外），平面AB1E与BD交于点F （Ⅰ）若E不是BC1的中点，求证：AB1∥EF；

（Ⅱ）若E是BC1的中点，求AE与平面BC1D所成角的正弦值； （Ⅲ）在线段BC1上是否存在点E，使得A1E⊥CE，若存在，求出请说明理由．

的值，若不存在，

【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的性质． 【分析】（I）连接B1C，交BC1于点G，连接GD，则由中位线定理得出GD∥AB1，于是AB1∥平面BC1D，由线面平行的性质得出AB1∥EF；

（II）以C1为原点建立空间坐标系，求出和平面BC1D的法向量，则AE与平面BC1D所成角的正弦值为|cos＜（III）设

=λ，求出

和

＞|； 的坐标，令

?

=0解出λ．

【解答】证明：（I）连接B1C，交BC1于点G，连接GD． ∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴G为B1C的中点， ∵D为AC中点，

∴GD∥AB1．又GD?平面BC1D，AB1?平面BC1D， ∴AB1∥平面BC1D．

∵AB1?平面AB1EF，平面AB1EF∩平面BC1D=EF， ∴AB1∥EF．

（II） 以C1为原点，以C1A1，C1C，C1B1为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示． 则A（2，2，0），E（0，1，），B（0，2，1），C1（0，0，0），D（1，2，0）． ∴

=（﹣2，﹣1，），

=（0，2，1），

=（1，2，0）．

设平面BC1D的法向量为=（x，y，z），则

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