2020届高考数学二轮复习专题《运用数形结合思想探究函数零点问题》

微专题5 运用数形结合思想探究函数零点问题

运用数形结合思想探究函数零点问题历来是高考的热点和难点，解决此类问题的难点是函数形式的有效选择，本专题主要研究运用数形结合思想探究函数零点问题，并在解决问题的过程中感悟数学思想方法的灵活运用.

4x－x2，x≥0，??

已知f(x)＝?3若函数g(x)＝|f(x)|－3x＋n有三个零点，则实数n的取

， x＜0，??x

值范围是_________．

本题主要考查数形结合思想方法在解题中的应用，但要将函数等价变形为|f(x)|＝

3x－n，即将函数进行“拆分”，拆分的目的是易于作图，然后在同一直角坐标平面画出函数y=|f(x)|的图象，再进行直线y=3x－n，那么的范围就是直线y=3x－n与函数y=|f(x)|的图象有三个交点时的取值范围.

??|x|， x≤m，

已知函数f(x)＝?2其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的

?x－2mx＋4m，x＞m，?

方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．

?x2＋（4a－3）x＋3a，x＜0，?

已知函数f(x)＝?(a＞0，且a≠1)在R上单调递减，且

??loga（x＋1）＋1， x≥0

关于x的方程|f(x)|＝2－x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是________．

(2019·苏州三模)如果函数y＝f(x)在其定义域内总存在三个不同实数x1，x2，x3，

满足|xi－2|f(xi)＝1(i＝1，2，3)，则称函数f(x)具有性质Ω.已知函数f(x)＝aex具有性质Ω，则实数a的取值范围为________．

11

x＋?－?x－?恰好有四个不同的交点， 已知直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝?则实数?x??x?

k的取值范围为________．

x， x<0，??

(2020·浙江模拟)已知a，b∈R，函数f(x)＝?131若函2＋ax，x≥0，x－（a＋1）x?2?3

数y＝f(x)－ax－b恰有3个零点，则实数b的范围为________．

3 已知e为自然对数的底数，若函数f(x)＝ex－ax2的图象与直线y＝ax的图象没有

2

交点，则实数a的取值范围是________．

(－2e，0]

33x2x2

因为函数f(x)＝e－ax的图象与直线y＝ax的图象没有交点，所以方程e－ax＝

22

－1

ax没有实根，即ex＝ax＋ax2没有实根，所以只须函数y＝ex 和y＝ax＋ax2的图象没有交

点．

3x2

下面作出函数y＝e和y＝ax＋ax的图象，观察得：当a＝0时，符合题意；当a>0时，不

2合题意；当a<0时，发现当x≥0时没有交点，所以只要保证当x<0时也没有交点．即只要3x2

研究当a<0时，当x<0时，e＝ax＋ax无解．

2

33x2xx (大函数法)当a<0时，令F(x)＝e－ax－ax(x<0) 则F′(x)＝e－2ax－a＝e－

22

3

232

a(2x＋)

333x由y＝e和y＝a(2x＋)的图象可知：F′(x)存在零点x0，即ex0＝a(2x0＋)(*)且x0<－，224

3

2

F(x)

32

在(－∞，x0)递减，在(x0，0)递增．所以只须满足F(x0)＝ex0－ax0－ax0>0，代入(*)式，

2化简得：x0<－1

332x0＋2x＋

221

又由(*)得，＝，令p(x)＝x(x<－1)

aex0e

1－2x2e1e2

因为p′(x)＝x>0，所以p(x)递增，所以p(x)<－，所以<－即－

e2a2e

?2?综上：a∈?－，0?. ?e?

3e32

(小函数法)当a<0时，e＝ax＋ax(x<0)无解，所以＝a(＋x)(x<0)无解

2x2

xxe3

观察函数y＝(x<0)和y＝a(＋x)(x<0)的图象，把握临界情况：

x2

ex（x－1）

＝a，??x3eex当y＝a(＋x)恰为y＝(x<0)的切线时，设切点为(x，) ，则? 解

2xxex3

??x＝a（x＋2），

0

xx0

0

20

0

0

0

0

0

x0＝－1，??2得?2此时恰好不符合条件．由图可知：－

ea＝－，?e?

?2?综上：a∈?－，0?. ?e?

31x2

(分离参数法)当a<0时，e＝ax＋ax(x<0)无解，所以＝x2ae

x2＋x(x<0)无解

3

2

x2＋x令h(x)＝

e

x32

132

－x＋x＋

22

(x<0)，则h′(x)＝，可得：h(x)在(－∞，－1)递减，在(－1，xe

1e2

)，所以<－，即－

a2e

e

0)递增，所以h(x)∈(－，＋

2

?2?综上：a∈?－，0?. ?e?

作业评价

2??x， x＞1，

已知函数f(x)＝?若函数g(x)＝f(x)－k仅有一个零点，则k的取

??9x（1－x）2，x≤1.

值范围是________．

3

已知函数f(x)＝xsinx－，则函数f(x)在(0，π)内的零点个数是________．

2 若函数y＝f(x)，x∈R，满足f(x＋2)＝－f(x)，且x∈[0，2]时，f(x)＝2－x2，则方

程f(x)＝sin|x|在[－10，10]内的根的个数为________．

b

我们把形如y＝(a＞0，b＞0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故

|x|－a

生动地称为“囧函数”，若当a＝1，b＝1时的“囧函数”与函数y＝lg|x|的交点个数为n，则n＝________.

33

0，?时，(2020·南通模拟)已知f(x)是定义在R上且周期为的周期函数，当x∈??2?f(x)2

＝1－|2x－1|.若函数y＝f(x)－logax(a>1)在(0，＋∞)上恰有4个互不相同的零点，则实数a的值________．

方程|ex－1|＋ax＋1＝0有两个不同的解，则实数a的取值范围是________．

32??－x＋3x＋t，x＜0，

(2019·南京二模)已知函数f(x)＝?t∈R.若函数g(x)＝f(f(x)－1)

?x， x≥0，?

恰有4个不同的零点，则t的取值范围为________．

k??x－1，x≤0，

已知函数f(x)＝?若关于x的方程f(f(x))＝0有且仅有一个实数解，则

??lnx， x＞0，

实数k的取值范围为________．

已知函数

f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋

e2

(x＞0)，若方程g(x)－f(x)＝0有两个x

相异实根，则确定m的取值范围________．

x＋2??，x≤0

已知k为常数，函数f(x)＝?x＋1，若关于x的方程f(x)＝kx＋2有且只有四

??|lnx|，x＞0

个不同的解，则实数k的取值集合为________．

x??xe， x≤0，

(2020·徐州模拟)已知函数f(x)＝?g(x)＝k(x＋1)，若方程f(x)－g(x)

?f（x－1），x>0，?

＝0有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．

已知b＞0，且b≠1，函数f(x)＝ex＋bx(其中e为自然对数的底数)，如果关于x的方

程f(x)＝2有且只有一个解，则实数b的取值范围是________．