圆锥曲线解题技巧 - - - - - 精心排版合

3A(?2,0)、B(2,0)、C(1,)代入椭圆E的方程，得

2?4m?1,11x2y2?解得m?,n?.∴椭圆E的方程??1 ． ?94343m?n?1??4

（Ⅱ）|FH|?2，设ΔDFH边上的高为S?DFH??2?h?h

当点D在椭圆的上顶点时，h最大为3，所以S?DFH的最大值为3． 设ΔDFH的内切圆的半径为R，因为ΔDFH的周长为定值6．所以，

S?DFH?1R?6 212 所以R的最大值为

3．所以内切圆圆心的坐标为(0,3)33. 12点石成金：S?的内切圆???的周长?r?的内切圆

0)及椭圆x2?3y2?5，过点C的动直线与椭圆例8、已知定点C(?1，相交于A，B两点.

（Ⅰ）若线段AB中点的横坐标是?，求直线AB的方程； （Ⅱ）在x轴上是否存在点M，使MA?MB为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 思维流程：

（Ⅰ）解：依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y?k(x?1)， 将y?k(x?1)代入x2?3y2?5， 消去y整理得

B(x2，y2)， 设A(x1，y1)，12(3k2?1)x2?6k2x?3k2?5?0.

???36k4?4(3k2?1)(3k2?5)?0， (1) ?则? 6k2?x1?x2??2. (2)3k?1?1x1?x23k21??2??，解得由线段AB中点的横坐标是?， 得

223k?12k??33，符合题意。

所以直线AB的方程为 x?3y?1?0，或 x?3y?1?0. （Ⅱ）解：假设在x轴上存在点M(m,0)，使MA?MB为常数.

① 当直线AB与x轴不垂直时，由（Ⅰ）知

6k23k2?5x1?x2??2， x1x2?2. (3)

3k?13k?1所以MA?MB?(x1?m)(x2?m)?y1y2?(x1?m)(x2?m)?k2(x1?1)(x2?1) ?(k2?1)x1x2?(k2?m)(x1?x2)?k2?m2.将(3)代入，整理得

114(2m?)(3k2?1)?2m?(6m?1)k?5233?m2MA?MB??m?3k2?13k2?1216m?14?m2?2m??. 233(3k?1)注意到MA?MB是与k无关的常数， 从而有6m?14?0，m??， 此时

4MA?MB?.

973② 当直线AB与x轴垂直时，此时点A，B的坐标分别为

742??2??m??MA?MB?. ，当时， 亦有?1，、?1，?????393??3??? 综上，在x轴上存在定点M??，0??，使MA?MB为常数.

?7?3114(2m?)(3k2?1)?2m?(6m?1)k?5233?m2 点石成金：MA?MB??m?3k2?13k2?12 ?m2?2m??16m?14.

33(3k2?1)例9、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点。

（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求m的取值范围；

（Ⅲ）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形. 思维流程：

x2y2解：（1）设椭圆方程为2?2?1(a?b?0)

ab?a?2b2?x2y2??a?8则?41解得?2 ∴椭圆方程为??1

82??1?b?2??22b?a（Ⅱ）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m 又KOM= ?l的方程为：y?x?m

1?y?x?m??由?222?x2?2mx?2m2?4?0 ?x?y?1?2?81212∵直线l与椭圆交于

A、B两个不同点，

???(2m)2?4(2m2?4)?0,解得?2?m?2,且m?0（Ⅲ）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可

设A(x1,y1),B(x2,y2),且x1?x2??2m,x1x2?2m2?4 则k1?y1?1y?1 ,k2?2x1?2x2?2由x2?2mx?2m2?4?0可得

x1?x2??2m,x1x2?2m2?4

而k1?k2?y1?1y2?1(y1?1)?(x2?2)?(y2?1)(x1?2) ??x1?2x2?2(x1?2)(x2?2)11(x1?m?1)(x2?2)?(x2?m?1)(x1?2)2?2(x1?2)(x2?2)?x1x2?(m?2)(x1?x2)?4(m?1)(x1?2)(x2?2)

2m2?4?(m?2)(?2m)?4(m?1)?(x1?2)(x2?2)2m2?4?2m2?4m?4m?4??0 (x1?2)(x2?2)?k1?k2?0故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.

点石成金：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形?k1?k2?0

x2y223例10、已知双曲线2?2?1的离心率e?，过A(a,0),B(0,?b)的直

3ab线到原点的距离是

3. 2 （1）求双曲线的方程；

（2）已知直线y?kx?5(k?0)交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值. 思维流程： 解：∵（1）

d?aba2?b2c23?,a3?3.ab?c原点到直线AB：

xy??1ab的距离

3.2.

?b?1,a? 故所求双曲线方程为 （2）把

x2?y2?1.3

中消去

y?kx?5代入x2?3y2?3y，整理得

(1?3k2)x2?30kx?78?0.