江苏省宿迁市沭阳国际学校高三数学上学期期初试卷(艺术班,含解析)

16．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA （Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．

【考点】正弦定理；正弦函数的定义域和值域． 【专题】计算题．

【分析】（1）先利用正弦定理求得sinB的值，进而求得B．

（2）把（1）中求得B代入cosA+sinC中利用两角和公式化简整理，进而根据A的范围和正弦函数的性质求得cosA+sinC的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA， 所以

，

．

=

=

，

．

，

由△ABC为锐角三角形得（Ⅱ）=

由△ABC为锐角三角形知，0＜A＜所以由此有

． ≤

， ，

]．

所以，cosA+sinC的取值范围为（

【点评】本题主要考查了正弦定理得应用和三角函数中两角和公式的运用．涉及了正弦函数的性质，考查了学生对三角函数知识的把握．

17．设f（x）=6cos2x﹣

sin2x，

（1）求f（x）的最大值及最小正周期； （2）若锐角α满足f（α）=3﹣2

，求tanα的值．

【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法． 【专题】计算题．

【分析】（I）利用三角函数的二倍角公式及公式化

简为只含一个角一个函数名的三角函数，利用有界性及周期公式求出最大值最小正周期． （II）列出关于α的三角方程，求出α，求出正切值． 【解答】解：（Ⅰ）===

故f（x）的最大值为（Ⅱ）由

又由从而

得

．

、

，故

，解得

．

；最小正周期得

，故

【点评】本题考查三角函数的二倍角公式、公式三角函数的周期公式、解三角方程． 18．已知

，

，求sinα及

．

【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的正切函数；二倍角的余弦． 【专题】计算题．

【分析】把题目中所给的两个条件展开，一个使用两角差的正弦公式，一个使用二倍角公式，得到关于角的正弦和余弦的二元一次方程，解方程，求出角的正弦和余弦，得到结果． 【解答】解：由题设条件，应用两角差的正弦公式得

，

即

①

由题设条件，应用二倍角余弦公式得

故

由①和②式得因此，

② ，

，由两角和的正切公式

【点评】本题考查两角的三角函数关系和同角的三角函数关系，解题过程中用到方程的思想，已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的其他三角函数式的值，一般需用三个基本关系式及其变式，通过恒等变形或解方程求解．

19．已知函数ω＞0）

（I）求函数f（x）的值域；

（II）若对任意的a∈R，函数y=f（x），x∈（a，a+π]的图象与直线y=﹣1有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明），并求函数y=f（x），x∈R的单调增区间． 【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象． 【专题】计算题．

【分析】（I）化简函数为一个角的一个三角函数的形式，根据正弦函数的有界性求出函数f（x）的值域；

（II）对任意的a∈R，函数y=f（x），x∈（a，a+π]的图象与直线y=﹣1有且仅有两个不同的交点，确定函数的周期，再确定ω的值，然后求函数y=f（x），x∈R的单调增区间． 【解答】解：（I）解：

=由

值域为[﹣3，1]．

（II）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，y=f（x）的周期为π，

=，得

可知函数f（x）的

（其中

又由ω＞0，得于是有

，即得ω=2．

，再由

，

解得

B1所以y=f（x）的单调增区间为

．

【点评】本小题主要考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力．

20．如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心，半径为10

米的扇形区域OCD，河的另

一侧是一段笔直的河岸l，岸边有一烟囱AB（不计B离河岸的距离），且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧

的交点为E．经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点

C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为45°，30°和60°． （1）求烟囱AB的高度；

（2）如果要在CE间修一条直路，求CE的长．

【考点】解三角形的实际应用． 【专题】综合题；解三角形． 【分析】（1）求出OB=

h，EB=

h，可得

h﹣

h=10

，即可求烟囱AB的高度；

（2）求出cos∠COB，利用余弦定理求CE的长． 【解答】解：（1）设AB的高为h，则 在△CAB中，∵∠ACB=45°，∴CB=h， 在△OAB中，∵∠AOB=30°，∠AEB=60°，