高等数学(同济第五版)第八章-多元函数微分学-练习题册

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3. 设f(x,y,z)=x2=2y2+3z2+xy+3x-2y-6z，求gradf(1,1,1).

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?4.设n是曲面2x2?3y2?z2?6在点P(1,1,1)处的指向外侧的法向量,求函数u?

四、设u,v都是x,y,z的函数，u,v的各偏导数存在且连续， 证明：grad(uv)=vgradu+ugradv.

第 八 节 作 业

一、填空题：

1. 函数f(x,y)=4(x-y)-x2-y2的极大值为 。

2. 设函数z=z(x,y)由方程x2+2y2+3z2+xy-z-9=0所确定，则函数z的驻点为 。 3. 函数z=xy在闭区域x≥0，y≥0, x+y≤1上的最大值为 。 二、选择题（单选）：

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6x2?8y2?在点P处沿方向n的方向导数.z

1.z?x?2y在满足x2?y2?5的条件下的极小值为:(A)5;(B)?5;(C)25;(D)?25.

答：（ ）

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2. 函数z=x2+y3在(0,0)处：

（A）有极大值； （B）有极小值； （C）没有极值； （D）既有极大值又有极小值。 答：（ ） 三、试解下列各题：

1. 求函数f(x,y)=(6x-x2)(4y-y2)的极值。

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2. 要造一个容积等于k的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小。

四、将周长为2p的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体，问矩形的边长各为多少时，才可使圆柱体的体积为最大？

第 八 章 综 合 作 业

一、填空题（每小题4分，共20分）：

1.已知u?xy?yz?zx,则gradu2.设z?xyex2(1,2,3)?...

?y2?sinx?z,则?2?xy3.设z?arctanx?y,则dz?x?y4.曲面z?x2?3y2在点(1,1,4)处的法线方程是5.设z?f(x,y)在点(x0,y0)处存在一阶偏导数,且在(x0,y0)处取得极值则必有成立.二、选择题（单选）（每小题5分，共20分）： 1. lim3xyxy?1?1x?0y?0?

（A）3； （B）6； （C）不存在； （D）∞.

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