实变函数复习提纲

2) 设f(x)在E上L可积,C为常数,则

?Cf(x)dx=C?EEf(x)dx

（4） 不等式性质: 设f(x) g(x) 在E上L可积,且f(x) ≤g(x),则

?Ef(x)dx≤?g(x)dx

E 特别地 当b≤f(x)≤B是有bmE ≤

?Ef(x)dx≤BmE

（5） 绝对值可积性: 设f(x)在E上L可积,则f(x)在E上L可积,且

?Ef(x)dx??f(x)dx

E（6） 设f(x)在E上L可积,f(x)≥0,且

?Ef(x)dx=0,则f(x)=0, a . e．与E;

（7） 绝对连续性: 设f(x)在E上L可积,则对于任何可测集A?E,有 lim

5 积分的极限定理

1 ） 勒贝格控制收敛定理(定理1) 设 (1) (2) (3)

nmA?0A?f(x)dx=0

?f?是可测集E上的可测函数列;

ffn(x)≤F(x) a e与E,n=1,2……,且F(x) 在E上可积分

n(x)? f(x)

n??E 则f(x) 在E上可积分,且lim?fn(x)dx=?f(x)dx=?limEEn??fn(x)dx即极限运

算与积分的运算可交换顺序 2） 列维定理 (定理2) 见书P126 3） L逐项积分:

??fEn?1?n(x)dx=??n?1?Efn(x)

?4）L积分的可数可加性 设f(x) 在E上积分确定,E=

??E,E为互不相交的可测集,

i?1ii则

?Ef(x)dx=??f(x)dx

i?1Ei5） 法都引理 见书P128 6 勒贝格积分的几何意义 设f(x)为可测集E?在E上的下方图形. 三 基本题目

Rn上的非负可测函数,则

?Ef(x)dx=mG(E,f),其中G(E,f)为f(x)

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1, 设f(x)在可测集E(mE＜∞)上有界,试给出f(x) 在E上L积分的定义 答案见§2 定义1

2 设D(x)=1x为有理数 x?[0,1]， 1)证明D(x)在[0,1]上L可积，

?0x为无理数 2)求

?[0,1]D(x)dx

1) 证∵D(x)为[0,1]上简单函数 ∴D(x)在[0,1]上可测 又D(x)?1 即D(x)在[0,1]上有界 而[0,1]为可测集

∴D(x)在[0,1]上L可积

2) 解: ∵ D(x)在[0,1]上L可积

令E为[0,1]上的有理数集合，则[0,1]\\E为[0,1]上的无理数集合,有L积分的性质得

?[0,1]D(x)dx =?D(x)dx+?E[0,1]\\ED(x)dx

∵ E为[0,1]上的有理数m全体组成的集合,它是全体有理数集合Q的子集

合 又 mQ=0

∴ mE=0

有差集的可测性知: m([0,1]\\E)=m[0,1]－mE=1－0=1 ∴

?[0,1]D(x)dx=?D(x)dx+?E[0,1]\\ED(x)dx=?1dx+?0dx

E[0,1]\\E=1?mE+0=1?0+0=0+0=0

3 试述非负有界函数的勒贝格积分的几何意义.

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