2018版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3_1导数的概念及运算教师用书文北师大版

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2018版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念

及运算教师用书 文 北师大版

1．导数与导函数的概念

(1)当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝lim

x1→x0

fx1－fx0

x1－x0

＝Δlim x→0

fx0＋Δx－fx0

.

Δx(2)如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝Δlim x→0

fx＋Δx－fx，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常

Δx也简称为导数． 2．导数的几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3．基本初等函数的导数公式

基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈实数) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ex f(x)＝ax(a>0，a≠1) f(x)＝ln x f(x)＝logax(a>0，a≠1) 4.导数的运算法则

若f′(x)，g′(x)存在，则有

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

f′(x)＝0 f′(x)＝αxα－1 f′(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f′(x)＝ex f′(x)＝axln a f′(x)＝ xf′(x)＝ xln a111文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

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(3)[

fxf′xgx－fxg′x]′＝(g(x)≠0)． 2

gx[gx]

【知识拓展】

1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．[

1

ff′x]′＝－2(f(x)≠0)． x[fx]

3．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．

4．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．( × ) (2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x．( × )

1．(2017·西安一中联考)设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0等于( ) ln 22

A．e B．e C. D．ln 2

2答案 B

解析 ∵f′(x)＝ln x＋1，∴f′(x0)＝ln x0＋1＝2， ∴ln x0＝1，∴x0＝e.

2．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图像，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图像可能是( ) 答案 D

解析 由y＝f′(x)的图像知y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C.

又由图像知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图像在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图像在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.

3．(2016·襄阳模拟)函数f(x)＝ecos x的图像在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为( ) ππ

A．0 B. C．1 D. 42

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