高三复习理科学案曲线与方程

二、填空题(每小题4分，共12分)

6．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于______．

7．(2011·泰安月考)已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为______________．

y→→

0，?，C(x，y)，若AB⊥BC，则动点C的轨迹方程为8．平面上有三点A(－2，y)，B??2?__________．

三、解答题(共38分)

9．(12分)已知抛物线y2＝4px (p>0)，O为顶点，A，B为抛物线上的两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于点M，求点M的轨迹方程．

10．(12分)(2009·宁夏，海南)已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.

(1)求椭圆C的方程；

|OP|

(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的一点，＝λ，求点M

|OM|

的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

11．(14分)(2011·石家庄模拟)在平面直角坐标系xOy中，有一个以F1(0，－3)和F2(0，

3

3)为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在

2

→→→

点P处的切线与x轴，y轴的交点分别为A，B，且OM＝OA＋OB.求：

(1)点M的轨迹方程；

→

(2)|OM|的最小值．

学案55 曲线与方程

自主梳理

1．(1)曲线上的点的坐标 解 (2)曲线上的点 3.(1)曲线上任意一点M的坐标

(2){M|p(M)} (4)最简形式 (5)曲线上

自我检测

1．C 2.A 3.C 4.A 5．B [

C1：(x－1)＋y＝1，

C2：y＝0或y＝mx＋m＝m(x＋1)．

当m＝0时，C2：y＝0，此时C1与C2显然只有两个交点；

当m≠0时，要满足题意，需圆(x－1)2＋y2＝1与直线y＝m(x＋1)有两交点，当圆与直线

3

相切时，m＝±，

3

即直线处于两切线之间时满足题意，

33则－

33

综上知－

33

课堂活动区

例1 解题导引 ①在判断含参数的方程所表示的曲线类型时，不能仅仅根据方程的外表草率地作出判断；

②由于已知条件中，直线PA、PB的斜率存在，因此轨迹曲线应除去A、B两点；

x2y2

③一般地，方程＋＝1所表示的曲线有以下几种情况：

AB

1° A>B>0，表示焦点在x轴上的椭圆； 2° A＝B>0，表示圆； 3° 00>B，表示焦点在x轴上的双曲线； 5° A<0

yy

解 设点P(x，y)，则kAP＝，kBP＝.

x－ax＋a

yy

由题意得·＝k，即kx2－y2＝ka2.

x－ax＋a

∴点P的轨迹方程为kx2－y2＝ka2 (x≠±a)．(*)

(1)当k＝0时，(*)式即y＝0，点P的轨迹是直线AB(除去A、B两点)．

x2y2

(2)当k≠0时，(*)式即2－2＝1，

aka

①若k>0，点P的轨迹是焦点在x轴上的双曲线(除去A、B两点)．

x2y2

②若k<0，(*)式可化为2＋＝1.

a?－ka2?

1° 当－1

3° 当k<－1时，点P的轨迹是焦点在y轴上的椭圆(除去A、B两点)． 变式迁移1 y2＝－8x

→→→

解析 由题意：MN＝(4,0)，MP＝(x＋2，y)，NP＝(x－2，y)， →→→→∵|MN||MP|＋MN·NP＝0，

22

∴42＋02·?x＋2?2＋y2＋(x－2)·4＋y·0＝0，

2

移项两边平方，化简得y＝－8x.

例2 解题导引 (1)由于动点M到两定点O1、O2的距离的差为常数，故应考虑是否符合双曲线的定义，是双曲线的一支还是两支，能否确定实轴长和虚轴长等，以便直接写出其方程，而不需再将几何等式借助坐标转化；

(2)求动点的轨迹或轨迹方程时需注意：“轨迹”和“轨迹方程”是两个不同的概念，前者要指出曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)．

解

如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系．由|O1O2|＝4，

得O1(－2,0)、O2(2,0)． 设动圆M的半径为r，则

由动圆M与圆O1内切，有|MO1|＝r－1； 由动圆M与圆O2外切，有|MO2|＝r＋2. ∴|MO2|－|MO1|＝3<4.

3

∴点M的轨迹是以O1、O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．∴a＝，c＝2，∴b2

2

7

＝c2－a2＝. 4

4x24y2

∴点M的轨迹方程为－＝1 (x<0)．

97

1

变式迁移2 D [∵sin C－sin B＝sin A，由正弦定理得到

2

11

|AB|－|AC|＝|BC|＝a(定值)．

22

a

∴A点轨迹是以B，C为焦点的双曲线右支，其中实半轴长为，焦距为|BC|＝a.

4

a?2?a?2316x216y2?∴虚半轴长为 ?2?－?4?＝4a，由双曲线标准方程得为a2－3a2＝1 (y≠0)的右

支．]

例3 解题导引 相关点法也叫坐标转移(代入)法，是求轨迹方程常用的方法．其题目特征是：点A的运动与点B的运动相关，且点B的运动有规律(有方程)，只需将A的坐标转移到B的坐标中，整理即可得点A的轨迹方程．

解 设动点P的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x1，y1)，则点N的坐标为(2x－x1,2y－y1)． ∵N在直线x＋y＝2上， ∴2x－x1＋2y－y1＝2.①

又∵PQ垂直于直线x＋y＝2， y－y1∴＝1，即x－y＋y1－x1＝0.② x－x1

?

联立①②解得?13

y＝?2x＋2y－1.

1

31

x1＝x＋y－1，

22

又点Q在双曲线x2－y2＝1上， 2∴x1－y21＝1.④

③代入④，得动点P的轨迹方程是 2x2－2y2－2x＋2y－1＝0.

③

变式迁移3 解 设A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，

2→→→→

AP＝PB，又AP＝(x－x0，y)，PB＝(－x，y0－y)，

2

22

所以x－x0＝－x，y＝(y0－y)

222

得x0＝?1＋?x，y0＝(1＋2)y.

2??

22

因为|AB|＝1＋2，即x0＋y20＝(1＋2)，

2

所以??1＋?x?2＋[(1＋2)y]2＝(1＋2)2，

2????2xx222

化简得＋y＝1.∴点P的轨迹方程为＋y＝1.

22

课后练习区 1．B [

x2y2

如图所示，由题知|PF1|＋|PF2|＝2a(设椭圆方程为2＋2＝1，其中a>b>0)．

ab

连接MO，由三角形的中位线可得

|F1M|＋|MO|＝a (a>|F1O|)，则M的轨迹为以F1、O为焦点的椭圆．]

2．B [A、B是两个定点，|CB|－|CA|＝2<|AB|，所以点C轨迹为双曲线的一支．] 3．C [设C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则a2＋b2＝9，① →→

又AC＝2CB，所以(x－a，y)＝2(－x，b－y)，

a＝3x，??即?3②

b＝y，??2

22y代入①式整理可得x＋＝1.] 4

4．B [

设抛物线的焦点为F，因为A、B在抛物线上，

所以由抛物线的定义知，A、B到F的距离AF、BF分别等于A、B到准线l的距离AM、BN(如图所示)，

于是|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|.

过O作OR⊥l，由于l是圆O的一条切线，所以四边形AMNB是直角梯形，OR是中位线，

故有|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN| ＝2|OR|＝8>4＝|AB|.

根据椭圆的定义知，焦点F的轨迹是一个椭圆．] 5．D [因为|F1F2|＝2，|MF1|－|MF2|＝2， 所以轨迹为一条射线．] 6．4π

解析 设P(x，y)，由题知有：(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，整理得x2－4x＋y2＝0，配方