（遵义专版）2019中考数学高分一轮复习 第五章四边形课时21正方形及特殊四边形的综合真题在线

第一部分 第五章 课时21

命题点一 正方形的性质及相关计算

1．(2016·遵义)如图，正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，CD上的点，且∠CFE＝60°，将四边形BCFE沿EF翻折，得到B′C′FE，C′恰好落在AD边上，B′C′交AB于点G，则GE的长是( C )

A．33－4 C．4－23

B．42－5 D．5－23

【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝AD＝3. 由折叠的性质得FC′＝FC，∠C′FE＝∠CFE＝60°，∠FC′B′＝∠C＝90°，B′E＝BE，∠B′＝∠B＝90°，∴∠DFC′＝60°，∴∠DC′F＝30°，∴FC′＝FC＝2DF.∵DF＋CF＝CD＝3，∴

DF＋2DF＝3，解得DF＝1，∴DC′＝3DF＝3，则C′A＝3－3，AG＝3(3－3)．设EB＝x，∵∠B′GE＝∠AGC′＝∠DC′F＝30°，∴GE＝2x，则3(3－3)＋3x＝3，解得x＝2－3，∴GE＝2x＝4－23.

2．(2018·遵义)如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E，F分别在AB，BC上(AE＜BE)，且∠EOF＝90°，OE，DA的延长线交于点M，OF，AB的延长线交于点N，连接MN.

(1)求证：OM＝ON;

(2)若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长． (1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°， ∴∠OAM＝∠OBN＝135°. ∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°， ∴∠AOM＝∠BON， 在△OAM和△OBN中，

∠AOM＝∠BON，??

?OA＝OB，??∠OAM＝∠OBN，

∴△OAM≌△OBN(ASA)， ∴OM＝ON.

(2)解：如答图，过点O作OH⊥AD于点H.

答图

∵正方形ABCD的边长为4， ∴OH＝HA＝2. ∵E为OM的中点， ∴HM＝4，

∴OM＝2＋4＝25， ∴MN＝2OM＝210.

3．(2017·遵义)边长为22的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点(点P与A，

2

2

C不重合)，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，QP与BC交于点E，QP的延长线与AD(或AD延长线)交于点F.

(1)连接CQ，证明：CQ＝AP；

3

(2)设AP＝x，CE＝y，试写出y关于x的函数关系式，并求当x为何值时，CE＝BC；

8(3)猜想PF与EQ的数量关系，并证明你的结论． (1)证明：∵线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BQ， ∴BP＝BQ，∠PBQ＝90°. ∵四边形ABCD是正方形， ∴BA＝BC，∠ABC＝90°. ∴∠ABC＝∠PBQ，

∴∠ABC－∠PBC＝∠PBQ－∠PBC，

即∠ABP＝∠CBQ. 在△BAP和△BCQ中，

BA＝BC，??

?∠ABP＝∠CBQ，??BP＝BQ，

∴△BAP≌△BCQ(SAS), ∴CQ＝AP. (2)解：∵四边形ABCD是正方形，

11

∴∠BAC＝∠BAD＝45°，∠BCA＝∠BCD＝45°，

22∴∠APB＋∠ABP＝180°－45°＝135°. ∵DC＝AD＝22， ∴AC＝

22

2

＋22

2

＝4.

∵AP＝x，∴PC＝4－x.

∵△PBQ是等腰直角三角形，∴∠BPQ＝45°， ∴∠APB＋∠CPQ＝180°－45°＝135°， ∴∠CPQ＝∠ABP.

又∵∠BAC＝∠ACB＝45°，∴△APB∽△CEP，

APABx22

∴＝，∴＝. CECPy4－x122∴y＝ x(4－x)＝－x＋2x(0＜x＜4)，

42232232

若CE＝BC，即－x＋2x＝，

844∴x－4x＋3＝0， 解得x＝3或1，

3

∴当x＝3或1时，CE＝BC.

8

2

答图

(3)解：结论：PF＝EQ.

证明：如答图1，当F在边AD上时，过P作PG⊥FQ，交AB于G，则∠GPF＝90°. ∵∠BPQ＝45°，∴∠GPB＝45°，

∴∠GPB＝∠PQB＝45°. 在△PGB与△QEB中， ∠GPB＝∠EQB，??

?BP＝BQ，??∠ABP＝∠CBQ，

∴△PGB≌△QEB(ASA)，∴EQ＝PG.

∵∠BAD＝90°，∴F，A，G，P四点共圆，连接FG， ∴∠FGP＝∠FAP＝45°， ∴△FPG是等腰直角三角形， ∴PF＝PG，∴PF＝EQ.

当F在AD的延长线上时，如答图2，同理可得PF＝PG＝EQ. 命题点二 特殊四边形与圆的综合

4．(2014·遵义)如图，边长为2的正方形ABCD中，P是CD的中点，连接AP并延长，交BC的延长线于点F，作△CPF的外接圆⊙O，连接BP并延长交⊙O于点E，连接EF，则EF的长为( D )

3A． 23

C．5 5

【解析】∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠PCF＝90°，CD∥AB.

∵P为CD的中点，CD＝AB＝BC＝2，∴CP＝1. ∵PC∥AB，∴△FCP∽△FBA， ∴＝，即5B． 34D．5 5

CFCPBFABBF－21

＝， BF2

∴BF＝4，∴CF＝4－2＝2. 由勾股定理得BP＝2＋1＝5. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCP＝∠PCF＝90°， ∴PF是⊙O的直径， ∴∠E＝90°＝∠BCP.

2

2

又∵∠PBC＝∠EBF， ∴△BCP∽△BEF，

PCBP15∴＝，即＝， EFBFEF4

4

∴EF＝5.

5