高考数学常用公式及结论160条

（3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直.

115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a＋b=b＋a．

(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)． (3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．

116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.

117.共线向量定理

对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b

三点共线

、

118.共面向量定理

向量p与两个不共线的向量a、b共面的推论 空间一点P位于平面MAB内的或对空间任一定点O，有序实数对

119.对空间任一点（时，若面．

四点共面

（

120.空间向量基本定理

与

、

共面

），则当

，使

存在实数对存在有序实数对

,使,使

.

．

，

共线且

不共线

且

存在实数λ使a=λb．

. 不共线.

和不共线的三点A、B、C，满足时，对于空间任一点

，总有P、A、B、C四点共面；当平面ABC，则P、A、B、C四点不共

平面ABC，则P、A、B、C四点共面；若

平面ABC）.

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．

推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使

121.射影公式 已知向量点在上的射影

=a和轴，e是上与同方向的单位向量.作A点在上的射影，则

〈a，e〉=a·e

122.向量的直角坐标运算 设a＝(1)a＋b＝(2)a－b＝(3)λa＝(4)a·b＝123.设A

=

124．空间的线线平行或垂直 设

，

，则

，B，b＝

则 ； ；

(λ∈R)； ；

，则

.

，作B

.

；

.

125.夹角公式 设a＝

，b＝

，则

cos〈a，b〉=推论

.

，此即三维柯西不等式.

126. 四面体的对棱所成的角 四面体

中,

与

所成的角为,则

.

127．异面直线所成角

=（其中（

128.直线

）为异面直线与平面所成角

所成角，

分别表示异面直线

的方向向量）

(

129.若成的角分别是

为平面的法向量).

的平面

成的角,另两边

,

与平面

所在平面若、

,

为

与过若

的两个内角，则

.

特别地,当时,有 .

130.若成的角分别是

、

所在平面若,

为

与过若的平面成的角,另两边,与平面

的两个内角，则

.

特别地,当时,有 .

131.二面角的平面角

或（，为平面，的法向量）.

132.三余弦定理

设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为AC所成的角为

，AO与AC所成的角为．则

.

，AB与

133. 三射线定理 若夹在平面角为

的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是

,

,与二面 ;

(当且仅当

134.空间两点间的距离公式 若A

=

到直线距离

，B

，则

.

时等号成立).

角的棱所成的角是θ，则有

135.点

(点

b=

).

136.异面直线间的距离

在直线上，直线的方向向量a=，向量

(

间的距离). 137.点

到平面

是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为

的距离

（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.

138.异面直线上两点距离公式

.

.

（

）.