河南省郑州一中期末数学试卷(理科)(附答案解析)

8．数列{an}，已知对任意正整数n，a1+a2+a3+…+an=2n﹣1，则a12+a22+a32+…+an2 等于（ ） A．（2n﹣1）2 B．

C．

D．4n﹣1

【考点】数列的求和；数列递推式．

【分析】首先根据a1+a2+a3+…+an=2n﹣1，求出a1+a2+a3+…+an﹣1=2n﹣1﹣1，两式相减即可求出数列{an}的关系式，然后求出数列{an2}的递推式，最后根据等比数列求和公式进行解答．

【解答】解：∵a1+a2+a3+…+an=2n﹣1…① ∴a1+a2+a3+…+an﹣1=2n﹣1﹣1…②， ①﹣②得an=2n﹣1， ∴an2=22n﹣2，

∴数列{an2}是以1为首项，4为公比的等比数列， ∴a12+a22+a32+…+an2=故选C．

9．已知△ABC，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acsinA＜A．△ABC是钝角三角形 B．△ABC是锐角三角形 C．△ABC是直角三角形 D．无法判断 【考点】数量积表示两个向量的夹角．

【分析】根据平面向量的数量积与三角形的内角和定理，求出A+B＜ABC是钝角三角形．

【解答】解：△ABC中，acsinA＜∴acsinA＜cacosB， 即sinA＜cosB， ∴sinA＜sin（∴A＜∴A+B＜

﹣B， ，

﹣B），

，

，判断△

，则（ ）

=，

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∴C＞，

∴△ABC是钝角三角形． 故选：A．

，若x2+4y2≥m恒成立，则实数m的最大值

10．设x，y满足约束条件为（ ）

A． B． C． D． 【考点】简单线性规划．

【分析】利用换元法将不等式进行转化，结合点到直线的距离公式进行求解即可．

【解答】解：设a=x，b=2y，则不等式x2+4y2≥m等价为a2+b2≥m， 则约束条件等价为

，

作出不等式组对应的平面区域如图：

设z=a2+b2，则z的几何意义是区域内的点到原点的距离， 由图象知O到直线2a+b=2的距离最小， 此时原点到直线的距离d=则z=d2=， 故选：C．

，

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11．正项等比数列{an}中，存在两项am、an使得的最小值是（ ） A． B．2

C． D．

=4a1，且a6=a5+2a4，则

【考点】基本不等式在最值问题中的应用；等比数列的性质． 【分析】由a6=a5+2a4，求出公比q，由基本不等式即可求出则

的最小值．

=4a1，确定m，n的关系，然后利用

【解答】解：在等比数列中，∵a6=a5+2a4， ∴

即q2﹣q﹣2=0，

解得q=2或q=﹣1（舍去）， ∵∴

即2m+n﹣2=16=24，

∴m+n﹣2=4，即m+n=6， ∴∴

， =（

）

=

，

=4a1，

， ，

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当且仅当故选：A．

，即n=2m时取等号．

12．设F1、F2分别为双曲线C：

﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双

曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为（ ） A．

B．

C． D．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】先求出M，N的坐标，再利用余弦定理，求出a，c之间的关系，即可得出双曲线的离心率．

【解答】解：不妨设圆与y=x相交且点M的坐标为（x0，y0）（x0＞0），则N点的坐标为（﹣x0，﹣y0）， 联立y0=x0，

得M（a，b），N（﹣a，﹣b），

又A（﹣a，0）且∠MAN=120°，所以由余弦定理得4c2=（a+a）2+b2+b2﹣2

?bcos 120°，

．

化简得7a2=3c2，求得e=故选A．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知O是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且

=2x?

+3y?

+4z?

，则2x+3y+4z= ﹣1 ．

【考点】向量在几何中的应用．

【分析】利用空间向量基本定理，及向量共面的条件，即可得到结论． 【解答】解：∵∴

=﹣2x?

=2x?

+3y?

+4z?，

，

﹣3y?﹣4z?

∵O是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面

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