2020届北京市朝阳区高三上学期期末数学试题(解析版)

P

1 106 103 10所以X的期望EX?0?（3）答案不唯一．

163?1??2??1.2． 101010答案示例1：可以认为该选手不会得到100分．理由如下：

?1?该选手获得100分的概率是??，概率非常小，故可以认为该选手不会得到100分． ?4?答案示例2：不能认为该同学不可能得到100分．理由如下：

20?1?该选手获得100分的概率是??，虽然概率非常小，但是也可能发生，故不能认为该选手不会得到100分． ?4?【点睛】

本题考查频率分布直方图的应用，离散型随机变量的分布列与期望，概率的理解，考查分析问题解决问题的能力. 19．如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，?ABC?20?3， PA?平面ABCD，PA?3，

PF?2FA，E为CD的中点．

（1）求证：BD?PC；

（2）求异面直线AB与DF所成角的余弦值；

（3）判断直线EF与平面PBC的位置关系，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）5；（3）相交，理由见解析． 5【解析】（1）根据题意先证明BD?平面PAC，即可得到答案；

（2）以O为坐标原点，以OB为x轴，以OC为y轴，以过点O且与AP平行的直线为z轴， 建立空间直角坐标系O?xyz，求出AB、DF的坐标，利用公式即可得到结果； （3）求出平面PBC的一个法向量与向量EF，根据EF?n与零的关系，作出判断. 【详解】

uuuvuuuvuuuvuuuvr

（1）连结AC．

因为底面ABCD是菱形 ，所以BD?AC. 又因为PA?平面ABCD，BD?平面ABCD， 所以PA?BD. 又因为PA?AC?A， 所以BD?平面PAC. 又因为PC?平面PAC， 所以BD?PC. （2）设AC，BD交于点O. 因为底面ABCD是菱形 ， 所以AC?BD，

又因为PA?平面ABCD， 所以PA?AC，PA?BD.

如图，以O为坐标原点，以OB为x轴，以OC为y轴，以过点O且与AP平行的直线为z轴， 建立空间直角坐标系O?xyz，

?31?则A?0,?1,0?，B3,0,0，C?0,1,0?，D?3,0,0， E???2,2,0??，P?0,?1,3? ，F?0,?1,1?.

??uuuvuuuvAB?3,1,0DF?3,?1,1， 则，

????????设异面直线AB与DF所成角为?，则???0,????2??，

uuuuvuuuuvuuuvuuuv|AB?DF|5cos??cos?AB,DF??uuuvuuuv?，

5AB?DF所以AB与DF所成角的余弦值为5. 5（3）直线EF与平面PBC相交.证明如下：

uuuv?33?uuuvuuuv由（2）可知，EF???2,?2,1??，BC??3,1,0，BP??3,?1,3，

??????设平面PBC的一个法向量为n??x,y,z?，

ruuuv?n?BC?0,v 即 则?uuu?n?BP?0,?r??3x?y?0,n?令，得x?3????3x?y?3z?0,?3,3,2．

?uuuvr?33?则EF?n???2,?2,1??????3,3,2?0，

?所以直线EF与平面PBC相交． 【点睛】

本题考查线面的位置关系，考查异面直线所成角的度量，考查推理能力与计算能力，属于中档题.

3x2y220．已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)过点P(?1,)，且椭圆C的一个顶点D的坐标为(?2,0)．过椭圆C的

2ab右焦点F的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B（A，B不同于点D），直线DA与直线m：x?4交于点M．连接MF，过点F作MF的垂线与直线m交于点N． （1）求椭圆C的方程，并求点F的坐标； （2）求证：D，B，N三点共线．

x2y2【答案】（1）（2）证明见解析. ??1，(1,0)；

43?a?2,?【解析】（1）根据题意列方程组?1，即可得到椭圆的方程，进而得到焦点坐标； 9??1??a24b2（2）讨论直线l的斜率，利用DB，DN是平行的证明D，B，N三点共线． 【详解】

（1） 因为点P??1,uuuvuuuv??3??在椭圆C上，且椭圆C的一个顶点D的坐标为??2,0?， 2??a?2,??a?2,? 所以?1解得?9??1.??b?3.??a24b2x2y2所以椭圆C的方程为??1．

43所以椭圆C的右焦点F的坐标为?1,0?．

（2）① 当直线l的斜率不存在时，直线AB的方程为x?1．

显然，A?1,3?3??3????3?B1,?A1,?B，或，??????1,?． 222???????2?3?1?3??A1,B1,?当??，??时，直线DA的方程为y??x?2?，点M的坐标为?4,3?．

2?2?2?? 所以kMF?1．

直线FN的方程为y???x?1?，点N的坐标为?4,?3?．

uuuv?v3?uuuDB?3,?则??，DN??6,?3?．

2??所以DN?2DB，所以D，B，N三点共线． 同理，当A?1,?uuuvuuuv??3??3?B，??1,?时，D，B，N三点共线． 2??2?② 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y?k?x?1?．

由??y?k?x?1?,?3x?4y?1222得3?4k?2?x2?8k2x?4k2?12?0． ?12?0．

??且???8k2??2?43?4k2???4k2?4k2?128k2设A?x1,y1?，B?x2,y2?，则x1?x2?，x1x2?． 223?4k3?4k直线DA的方程为y?y1???x?2?，点M的坐标为?4,6y1?． x1?2?x1?2?所以

kMF6y1?0x1?22y1． ??4?1x1?2直线NF的方程为y???3x?2?x1?2?x?1?，点N的坐标为?4,??1??． 2y12y1??uuuv?uuuv3?x1?2??则DB??x2?2,y2?，DN??6,??．

2y1??所以?x2?2???3?x1?2?2y1?6y2

??3??x1?2??x2?2??4y1y2??， 2y1?